23、未校准弱透视相机下的场景重建与分析

未校准弱透视相机下的场景重建与分析

1. 引言

在场景重建中，当相机的内参未知时，会面临重建的模糊性增加的问题，但使用未校准相机也有一些显著优势。一方面，无需对相机参数进行初步校准，结构和运动估计过程可分为两个阶段，先使用简单鲁棒的算法恢复“基本”（仿射或投影）结构和运动参数，再利用已知相机参数的额外约束将重建结果升级为欧几里得结构；另一方面，通过“线性化”与运动结构相关的代数约束，这种方法能以统一的方式处理多张图像。

2. 弱透视投影模型

对于场景中相对相机深度较大、起伏较小的情况，透视投影可近似为更简单的弱透视模型。给定 $n$ 个固定点 $P_j$（$j = 1, \cdots, n$），由 $m$ 个具有未知内参和外参的仿射相机观测，其图像的 $mn$ 个非齐次坐标向量为 $p_{ij}$，弱透视投影方程可重写为：
$p_{ij} = M_i
\begin{bmatrix}
P_j \
1
\end{bmatrix}
= A_iP_j + b_i$
其中，$i = 1, \cdots, m$，$j = 1, \cdots, n$，$M_i =
\begin{bmatrix}
A_i \
b_i
\end{bmatrix}
$ 是一个一般的秩为 2 的 $2 \times 4$ 矩阵，向量 $P_j$ 是点 $P_j$ 在某个固定坐标系中的位置。从运动中估计仿射结构的问题，就是从 $mn$ 个图像对应关系 $p_{ij}$ 中估计 $m$ 个矩阵 $M_i$ 和 $n$ 个向量 $P_j$。

3. 问题的自然模糊性