12、平移不变线性系统与空间频率及傅里叶变换

平移不变线性系统与空间频率及傅里叶变换

在图像处理和信号处理领域，平移不变线性系统以及空间频率和傅里叶变换是非常重要的概念。它们帮助我们理解和处理图像信号，解决诸如噪声处理、图像缩放等实际问题。

1. 有限差分求导与噪声问题

有限差分法可用于估计图像的导数。例如，在一张斑马图片中，通过有限差分可以得到图像在不同方向上的偏导数。y 方向的偏导数对水平条纹响应强烈，对垂直条纹响应较弱；x 方向的偏导数则相反，对垂直条纹响应强烈，对水平条纹响应较弱。然而，有限差分法对噪声非常敏感。当向图像的每个像素添加具有零均值和正态分布的随机数时，导数图像会变得越来越粗糙，噪声被明显放大。这表明在进行求导操作之前，进行某种形式的平滑处理是很有必要的。

2. 平移不变线性系统

卷积可以表示一大类系统的作用效果。大多数成像系统通常具有三个重要特性：
- 叠加性 ：对于系统的响应函数 (R)，有 (R(f + g) = R(f) + R(g))，即系统对刺激之和的响应等于对各个刺激响应之和。
- 缩放性 ：系统对零输入的响应为零，结合叠加性，有 (R(kf) = kR(f))，这意味着系统对缩放后的刺激的响应是对原始刺激响应的缩放版本。具有叠加性和缩放性的设备是线性的。
- 平移不变性 ：在平移不变系统中，对平移后的刺激的响应只是对原始刺激响应的平移。例如，若相机中心的小光源在图像中呈现为一个小而亮的斑点，当光源移到边缘时，我们仍会看到相同的小而亮的斑点，只是位置发生了平移。

同时具有线性和平移不变性的设备被称为平移不变