8、傅里叶变换及其相关变换的特性与应用

傅里叶变换及其相关变换的特性与应用

1. 傅里叶变换的特性

傅里叶变换在图像处理领域有着广泛的应用，它具有多种重要的特性，下面为大家详细介绍。

1.1 平移不变性

图像的空间频率分解不依赖于图像内特征的位置。若将所有特征平移固定量，或者从不同位置获取图像，其傅里叶变换的幅度不会改变，这就是平移不变性。
设 (p(t)) 的延迟版本为 (p(t - s))（(s) 为延迟量），其傅里叶变换为 (J[p(t - s)])，则时间域平移与频率域的关系为：
(J[p(t - s)] = e^{-jus}P(u))
傅里叶变换的幅度为：
(\vert J[p(t - s)]\vert = \vert e^{-jus}P(u)\vert = \vert e^{-jus}\vert\vert P(u)\vert = \vert P(u)\vert)
因为指数函数的幅度为 1.0，所以平移后图像的傅里叶变换幅度等于原始（未平移）版本的幅度。不过，平移后变换的相位会发生变化，其相位为：
(\arg(J[p(t - s)]) = \arg(e^{-jus}P(u)))

以下是 Python 实现的平移操作代码：

for x,y in itertools.product(range(0, width), range(0, height)):
    xShift = (x - shiftDistance) % width 
    shiftImage[y,x] = inputImage[y,xShift]