傅里叶变换 | 时移、频移及应用

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信号处理 – 傅里叶变换的性质及常用信号的傅里叶变换

知知知_了于 2020-10-23 12:25:36 发布

一、前言

傅里叶变换的定义式

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函数 $f (t)$ 的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内 $f (t)$ 绝对可积，但它并非必要条件。

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当引入广义函数的概念后，许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换，这给信号与系统分析带来很大方便。

二、傅里叶变换的性质

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三、奇异函数的傅里叶变换

1、冲激函数的频谱

方法一：根据傅里叶变换的定义式，并且考虑到冲激函数的取样性质，得

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其频谱密度在 $-\infty<\omega<\infty$ 区间处处相等，常称为 “均匀谱” 或 “白色频谱”。

方法二：应用广义极限的概念，单位冲激函数 $\delta(t)$ 是幅度为 $\frac{1}{\tau}$ ，脉宽为 $\tau$ 的矩形脉冲当 $\tau\rightarrow0$ 的广义极限，因而可以写为

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门函数的傅里叶变换

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因而

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所以

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2、冲激函数导数的频谱

冲激函数导数定义式为

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其中 $\varphi(t)$ 为检验函数， $\varphi(t)$ 是急降的。

按广义函数理论，由于选取了性能良好的检验函数空间 $\Phi$ ，广义函数的各阶导数都存在并且仍属于缓增广义函数空间 $\Phi^{\prime}$ 。

根据定义，冲激函数的一阶导数 $\delta^{\prime}(t)$ 的频谱函数为：

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即 $\delta^{\prime}(t)$ 的频谱函数为：

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3、单位直流信号的频谱

幅度等于 $1$ 的直流信号可表示为 $-\infty < t < \infty$

显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换却存在。

根据傅里叶变换的性质（对称性），可得

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4、符号函数的频谱

符号函数记作 $s g n (t)$ ，它的定义为：

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显然，该函数也不满足绝对可积条件。

函数 $s g n (t)$ 可看作是：

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当 $\alpha$ 趋于 $0$ 时的极限，因此其频谱函数也是 $f_{1}(t)$ 的频谱函数 $F_{1}(j\omega)$ 当 $\alpha$ 趋于 $0$ 时的极限。

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它是 $\omega$ 的奇函数，在 $\omega = 0$ 处 $F_{1}(0)=0$ ，因此当 $\alpha$ 趋近于零时，有：

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于是得

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5、阶跃函数的频谱

单位阶跃函数 $u (t)$ 也不满足绝对可积条件。它可看作是幅度为 $\frac{1}{2}$ 的直流信号与幅度为 $\frac{1}{2}$ 的符号函数之和，即：

对上式两边进行傅里叶变换，得

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四、常用信号的傅里叶变换表

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常用函数的傅里叶变换及其频谱

YprgDay于 2023-12-05 15:42:07 发布

本文围绕管致中的《信号与线性系统》上册，探讨了信号处理的基础理论，包括线性系统的数学模型、频域和时域分析方法，以及滤波器设计等内容。

表3-1 傅里叶变换表(几种常用函数及其频谱）

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参考:《信号与线性系统（上册）》管致中

领悟《信号与系统》之傅里叶变换的性质与应用

太阳风暴已于 2023-08-16 13:28:49 修改

依据傅里叶变换对的概念，非周期连续时间信号可表述为指数函数的积分。利用该积分的性质，可建立时域与频域之间的关联，并推导得到一系列简化运算的公式。

一、傅里叶变换性质表

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二、傅里叶性质详细说明

（一）傅里叶变换式

在这里插入图片描述

该变换式建立了信号时域与频域的映射关系，因此同一信号可通过时域与频域两种形式描述，且两种形式可相互转换。本节重点分析信号在时域中进行运算或变换时，在频域中产生的对应效应。

1. 线性性质

利用线性性质可将复合信号分解为多个简单信号分量，分别求解各分量的傅里叶变换后再进行合并，核心思想是通过“分解-求解-合并”的步骤简化复杂问题。该性质与线性时不变（Linear Time-Invariant, LTI）系统的线性齐次变换特性一致。

（1）定义

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（2）例题

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2. 尺度变换特性

尺度变换特性的核心规律为：

连续时间信号在时域展宽（ $0 < a < 1$ ）时，其频谱在频域压缩；
信号在时域压缩（ $a > 1$ ）时，其频谱在频域展宽；
若 $a < 0$ ，则信号时域波形反转，同时伴随压缩或展宽。

该特性揭示了时间与频率的反比关系，通常称为“时频展缩”。由周期 $T$ 与频率 $F$ 的关系 $F = 1/ T$ 可直接验证这一反比特性。

在信号处理系统设计中，尺度变换特性是关键考量因素。例如，若需提高系统传输效率，需对传输信号进行时域压缩，但压缩后的信号要求系统具备更宽的频带。

（1）定义

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（2）证明

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（3）例题

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3. 时移特性

时移特性表明：当信号在时域发生移位（反映信号接入时间的变化）时，其幅度频谱保持不变，而相位频谱会叠加一个与角频率 $\omega$ 成线性关系的附加相移 $±ωt0 \pm \omega t_0$ （ $t_0$ 为时域移位量）。

（1）定义

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（2）证明

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（3）例题

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4. 频移特性

频移特性是信号处理中应用最广泛的性质之一，其核心功能是实现“频谱搬移”。

（1）定义

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（2）证明

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（3）例题

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（4）工程应用

频移特性在调幅、同步解调等电子系统中不可或缺，其核心原理是：在时域将信号 $f (t)$ （称为调制信号）与载波信号 $\cos(\omega_0 t)$ 或 $\sin(\omega_0 t)$ 相乘，得到高频已调信号 $y (t)$ ，即：
$\cdot \cos(\omega_0 t)$

频谱搬移的原理示意图如下：

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下图给出了门函数及高频脉冲信号的时域波形与对应频谱：

在这里插入图片描述

由图可见：当用低频信号 $f (t)$ 对载频为 $\omega_0$ 的正弦信号进行幅度调制时，高频已调信号的频谱是将 $f (t)$ 的频谱 $F(j\omega)$ 按比例复制为两份，分别向 $\omega = \omega_0$ 和 $\omega = -\omega_0$ 方向搬移，且搬移过程中幅度频谱的形态保持不变。这一过程即为电子技术中的“调幅”。

5. 时域微分特性

时域微分特性的核心作用是：将时域的微分运算转换为频域的乘法运算，从而简化运算过程。

（1）定义

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（2）证明

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（3）例题

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6. 频域微分特性

（1）定义

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（2）证明

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7. 时域积分特性

（1）定义

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（2）例题

在这里插入图片描述

8. 频域积分特性

（1）定义

在这里插入图片描述

（2）例题

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9. 卷积定理

卷积定理包括时域卷积定理与频域卷积定理，其核心是建立时域与频域卷积运算的映射关系。

（1）时域卷积定理

时域卷积定理表述为：两个信号在时域的卷积的傅里叶变换，等于两个信号各自傅里叶变换的乘积。利用该性质，可将复杂的时域卷积运算转换为简单的频域乘法运算。

定义：

在这里插入图片描述

证明：

在这里插入图片描述

（2）频域卷积定理

频域卷积定理表述为：两个信号在频域的卷积的傅里叶逆变换，等于两个信号各自的乘积。由于该过程可理解为一个信号对另一个信号的幅度进行调制，因此频域卷积定理也称为“幅度调制定理”。

定义：

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例题：

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10. 对称性

对称性（又称对偶性）表明：当时间变量 $t$ 与频率变量 $\omega$ 交换时，傅里叶变换与傅里叶逆变换的形式呈现对称关系。利用该性质可简化部分信号的傅里叶正变换与逆变换求解过程。

（1）定义

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（2）证明

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（3）例题

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11. 帕塞瓦尔定理

（1）定义

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（2）物理意义

非周期信号通常为能量信号（平均功率为零，总能量有限），其总能量 $W$ 可在时域表示为：

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帕塞瓦尔定理的核心结论是：非周期信号在时域计算的总能量，与在频域计算的总能量相等。由于 $|F(j\omega)|^2$ 是 $\omega$ 的偶函数，总能量也可表示为：

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关于傅里叶变换：时移与频移解读之解读

卓晴已于 2022-05-02 17:53:47 修改

一、简介

本文聚焦傅里叶变换中相互关联的三大核心特性——时移特性、频移特性与尺度特性。对《信号与系统》学科的深入理解，需结合经典理论推导、物理直观分析及数值计算验证三个维度，方可在工程应用中透过现象把握本质，建立对信号时域与频域映射关系的系统性认知。

关键词：快速傅里叶变换（FFT），时移特性，频移特性，尺度特性

00 背景

在西土城山羊卷的博文《傅里叶变换：时移与频移性质解读》中，其对傅里叶变换时移与频移特性的物理意义解读具有创新性，突破了传统教材中仅侧重数学推导的局限，为理解时域-频域关联提供了更直观的视角，本文将基于该视角展开进一步分析。

01 时移特性

傅里叶变换的时移特性表述为：若信号 $f (t)$ 在时域延迟 $t_0$ （ $t_0 \ge 0$ ），形成新信号 $f(t - t_0)$ ，则该延迟信号的傅里叶变换 $F_{t_0}(j\omega)$ 与原信号频谱 $F(j\omega)$ 的关系满足：

$F_{t_0}(j\omega) = F(j\omega) \cdot e^{-j\omega t_0}$

1.1 性质证明

时移特性的证明可通过傅里叶变换定义结合变量替换完成，具体步骤如下：

傅里叶变换定义：原信号 $f (t)$ 的傅里叶变换为

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$
延迟信号的傅里叶变换：对延迟信号 $f(t - t_0)$ 代入变换定义，得

$F_{t_0}(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t - t_0) e^{-j\omega t} dt$
变量替换：令 $l = t - t_0$ ，则 $t = l + t_0$ ， $d t = d l$ ，积分上下限保持不变。代入上式得

$F_{t_0}(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(l) e^{-j\omega (l + t_0)} dl$
分离指数项并化简：利用指数运算性质 $e^{-j\omega (l + t_0)} = e^{-j\omega l} \cdot e^{-j\omega t_0}$ ，将常数项 $e^{-j\omega t_0}$ 提出积分外，得

$F_{t_0}(j\omega) = e^{-j\omega t_0} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} f(l) e^{-j\omega l} dl = F(j\omega) \cdot e^{-j\omega t_0}$

至此，时移特性得证。

1.2 物理解释

从上述公式可提取时移特性的两个核心物理意义：

幅度谱不变，相位谱附加线性相移：延迟仅影响信号的相位频谱，所有频率分量均叠加一个统一形式的负相位因子 $e^{-j\omega t_0}$ ，而幅度频谱 $|F(j\omega)|$ 保持不变。这表明时域延迟不改变信号的频率成分及各成分的相对强度。
相位延迟与频率成正比：附加相移的大小 $\Delta\phi(\omega) = -\omega t_0$ 与角频率 $\omega$ 呈线性关系，比例系数为 $t_0$ 。即频率越高的分量，其相位延迟越大。

1.2.1 特定信号举例

以由 4 个正弦分量叠加的信号为例，验证时移特性的物理意义。设信号表达式为：
$\sin(10t) + \sin(12t) + \sin(15t) + \sin(18t)$

该信号的时域波形及各频率分量波形如下图所示：

▲ 图 1.2.1 信号 f(t) 的四个频率分量

生成上述波形的 Python 代码如下：

from headm import *  # 导入自定义工具库

fdim = [10, 12, 15, 18]  # 四个正弦分量的角频率（rad/s）
t = linspace(0, 2, 1000)  # 时间序列：0~2s，共 1000 个采样点

plt.clf()
plt.figure(figsize=(10, 10))  # 设置画布尺寸

# 绘制叠加信号波形
plt.subplot(len(fdim) + 1, 1, 1)
sumsin = zeros(len(t))
for f in fdim:
    sumsin += sin(f * t)
plt.plot(t, sumsin, label=' 叠加信号 ')
plt.xlabel("时间 t (s)")
plt.ylabel("幅度")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.tight_layout()

# 绘制各频率分量波形
for idx, f in enumerate(fdim):
    plt.subplot(len(fdim) + 1, 1, idx + 2)
    plt.plot(t, sin(f * t), label=f'ω = {f} rad/s')
    plt.xlabel("时间 t (s)")
    plt.ylabel("幅度")
    plt.grid(True)
    plt.legend()
    plt.tight_layout()

plt.savefig(r"d:\temp\figure1.jpg")  # 保存图像
plt.close()
tspshowimage(image=r"d:\temp\figure1.jpg")  # 显示图像

若将信号延迟 $t_0 = 0.1 \, \text{s}$ ，得到延迟信号 $f (t - 0.1)$ ，其波形及各分量波形如下图所示：

▲ 图 1.2.2 延时信号对应的波形及其各个频率分量

从图中可直观观察到：

所有频率分量均延迟相同的时间 $t_0 = 0.1 \, \text{s}$ ，验证了“时域延迟是全局统一的”这一特性；
高频分量（如 $\omega = 18 \, \text{rad/s}$ ）的相位偏移更明显，符合“相位延迟与频率成正比”的规律。

下图进一步展示了不同典型信号（如矩形脉冲、正弦信号）经时域延迟后的频谱与相位变化，直观体现时移对相位谱的线性调制作用：

▲ 图 1.2.3 几种不同的典型信号平移后对应的频谱和相位

02 频移特性

频移特性是傅里叶变换中与时移特性对偶的核心性质，其工程应用（如调幅、解调）极为广泛。西土城山羊卷 对该特性的解读重点在于区分“频移”与“尺度变换”的本质差异，为工程应用提供了关键理论依据。

2.1 性质证明

频移特性表述为：若信号 $f (t)$ 的频谱 $F(j\omega)$ 在频域平移 $\omega_0$ ，形成新频谱 $F(j(\omega - \omega_0))$ ，则该频移频谱对应的时域信号 $f_{\omega_0}(t)$ 满足：
$f_{\omega_0}(t) = f(t) \cdot e^{j\omega_0 t}$

证明过程基于傅里叶逆变换定义，步骤如下：

傅里叶逆变换定义：原信号 $f (t)$ 由其频谱逆变换得到

$\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$
频移频谱的逆变换：对频移频谱 $F(j(\omega - \omega_0))$ 代入逆变换定义，得

$f_{\omega_0}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j(\omega - \omega_0)) e^{j\omega t} d\omega$
变量替换：令 $\lambda = \omega - \omega_0$ ，则 $\omega = \lambda + \omega_0$ ， $d\omega = d\lambda$ ，积分上下限保持不变。代入上式得

$f_{\omega_0}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j\lambda) e^{j(\lambda + \omega_0)t} d\lambda$
分离指数项并化简：利用指数运算性质 $e^{j(\lambda + \omega_0)t} = e^{j\lambda t} \cdot e^{j\omega_0 t}$ ，将常数项 $e^{j\omega_0 t}$ 提出积分外，得

$f_{\omega_0}(t) = e^{j\omega_0 t} \cdot \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j\lambda) e^{j\lambda t} d\lambda = f(t) \cdot e^{j\omega_0 t}$

至此，频移特性得证。

2.2 物理解释

频移特性的物理意义可从“时域调制-频域搬移”的对应关系展开：

时域调制对应频域搬移：时域中信号 $f (t)$ 与复振荡 $e^{j\omega_0 t}$ 的乘积，本质是对 $e^{j\omega_0 t}$ 进行幅度调制（ $f (t)$ 为调制信号， $e^{j\omega_0 t}$ 为载波），调制结果在频域表现为原频谱 $F(j\omega)$ 向 $\omega = \omega_0$ 方向整体搬移。
实载波调制的频谱对称搬移：工程中常用实正弦载波 $\cos(\omega_0 t)$ （而非复振荡 $e^{j\omega_0 t}$ ），利用欧拉公式 $\cos(\omega_0 t) = \frac{1}{2}(e^{j\omega_0 t} + e^{-j\omega_0 t})$ 可知，此时频谱会向 $\omega = \omega_0$ 和 $\omega = -\omega_0$ 两个方向对称搬移，形成“上边带”与“下边带”，这是调幅通信的核心原理。

下图展示了信号频谱搬移与时域调制的对应过程，直观体现频移特性的工程意义：

▲ 图 2.2.1 信号频谱的搬移对应的信号调制过程

2.3 尺度变换对应的频率变化

西土城山羊卷 提出的关键疑问——“频谱搬移使频率升高，为何时域表现不是尺度压缩？”——需通过对比频移特性与尺度变换特性的本质差异解答。

（1）尺度变换特性的核心规律

若信号 $f (t)$ 在时域发生尺度变换，形成新信号 $f (a t)$ （ $\neq 0$ ），则其傅里叶变换满足：

$\mathcal{F}\{f(a t)\} = \frac{1}{|a|} F\left(j \cdot \frac{\omega}{a}\right)$

该特性的物理意义为：

当 $a > 1$ 时，时域信号压缩，频域频谱展宽且幅度降低（频率升高）；
当 $0 < a < 1$ 时，时域信号展宽，频域频谱压缩且幅度升高（频率降低）；
当 $a < 0$ 时，信号在时域反转，同时伴随上述尺度变换效应。

（2）频移与尺度变换的本质差异

对比维度	频移特性（ $\cdot e^{j\omega_0 t}$ ）	尺度变换特性（ $f (a t)$ ）
时域表现	信号幅度被复载波调制，波形周期不变	信号波形被压缩/展宽，周期改变
频域表现	频谱整体搬移，带宽不变	频谱展宽/压缩，带宽改变
频率分量变化	各频率分量的数值均增加 $\omega_0$ （偏移）	各频率分量的数值按比例 $1/ a$ 缩放
工程应用	调幅、解调、信号混频	信号采样率转换、时域压缩存储

下图展示了傅里叶变换尺度特性的时域-频域对应关系，清晰区分其与频移特性的差异：

▲ 图 2.3.1 傅里叶变换的尺度性质

变换总结

本文系统分析了傅里叶变换的时移特性、频移特性及尺度变换特性，三者的核心关联与差异可归纳为：

对偶性：时移特性（时域延迟→频域线性相移）与频移特性（频域搬移→时域复调制）呈对偶关系，均体现时域-频域的线性映射；
本质差异：频移是频谱的“整体偏移”，不改变带宽与频率分量比例；尺度变换是频谱的“缩放”，改变带宽与频率分量数值；
理解维度：对三大特性的掌握需结合“数学推导（严谨性）”“物理直观（现象解释）”“数值验证（工程落地）”，三者协同方可建立对信号时域-频域关系的深度认知，为后续滤波、调制、采样等工程应用奠定理论基础。

傅里叶变换：时移与频移性质解读

科历杨curlyoung 已于 2022-01-23 19:38:37 修改

一、时移性质

$\mathscr{F}[f(t - t_0)] = F(f)e^{-j2\pi ft_0}$

时域信号可以分解为无穷多个谐振信号。当信号在时域上有 $t_0$ 的时延后，所有的谐振信号也会有 $t_0$ 的时延。从上述表达式可以看出，不同频率成分的时延大小相同，但相位改变量与其频率有关。频率为 $f$ 的谐振成分的相位改变量为 $2\pi ft_0$ 。在相同时间下，高频成分的相位改变量自然更大。

相位改变量为负的原因：时域中本应在 0 时刻到达的信号被推迟到了 $t_0$ 时刻。相应地，各频率分量本应在 0 时刻的相位值也改到了 $t_0$ 时刻。而当前 0 时刻的相位落后于 $t_0$ 时刻，因此各频率成分的相位表现为落后而非超前，故有负值的附加相位。

二、频移性质

$\mathscr{F}[f(t)e^{j2\pi f_0t}] = F(f - f_0)$

该式右侧表明信号的频谱整体向右移动 $f_0$ ，即信号的频率提高。在时域上，信号的振荡速度加快，但这种加快并不表现为时域信号的压缩，因此并非 $f (t / ?)$ 的形式。实际上是将 $F (f)$ 从 0 频搬移到 $f_0$ 中心频率上，属于调制操作。因此时域应写作 $f(t)\cos2\pi f_0t$ ，由于现在是复数表示形式，所以写为 $f(t)e^{j2\pi f_0t}$ 。