17、环代数、Virasoro代数及其应用

环代数、Virasoro代数及其应用

1. 环代数与Virasoro代数的表示

在研究环代数和Virasoro代数时，我们首先关注到关于 $\mathfrak{sl}_2$ 的最高权表示。构建了以 $\Omega_q$ 为最高权向量的 $\mathfrak{sl}_2$ 的最高权表示，但 $\pi_q(\tau(\cdot))$ 并非不可约的。不过，每个 $\mathcal{H}_q$ 都有一个包含 $\Omega_q$ 的真不变子空间 $\mathcal{H}’_q$ 。

这里涉及到一些关键的定义和性质：
- 定义 $U’ q = {F \in \mathcal{H}_q : \pi_q(s {2k})F = 0, k \in \mathbb{N}}$ ，由于 $[s_{2k}, \tau(\mathfrak{sl} 2)] = 0$ ，所以 $\mathcal{H}’_q$ 在 $\pi_q(\tau(\mathfrak{sl}_2))$ 下是不变的。
- 形如 $\pi_q(s {-2k_1 + 1})\cdots\pi_q(s_{-2k_n + 1})\Omega_q$ （其中 $k_1 \geq \cdots \geq k_n > 0$ ）的元素张成了 $\mathcal{H}’_q$ 中的一个稠密子集。

下面是一个重要的定理：
定理31 ：对于每个 $q \in \mathbb{Z}$ ，$\pi_q$ 是 $\mathfrak{sl}_2$ 在 $\mathcal{H}_q$ 中的一个酉最高权表示，最高权为 $\omega_p$ （$p = q \bmod