20、微分同胚群与玻色 - 费米对应相关研究

微分同胚群与玻色 - 费米对应相关研究

1. 微分同胚群 Diff⁺(S¹) 作为酉群的分析

1.1 空间分解与扇区真空

首先，我们有 $H$ 的直和分解 $H = \bigoplus_{q\in Z}H_q$，其中 $H_q = H| {\mathcal{H}_q}$。回顾相关内容，$\mathcal{H}^\wedge(\mathcal{H}) = \bigoplus {q\in Z}\mathcal{H} q$。我们定义 $\beta_q = S^q\Omega$，这里 $S$ 是可逆的，且 $S^{-1} = S^ $。当 $q > 0$ 时，$\beta_q = S^{q - 1}e_0 = S^{q - 2}e_1\wedge e_0 = \cdots = e_{q - 1}\wedge e_{q - 2}\wedge\cdots\wedge e_2\wedge e_1\wedge e_0$；当 $q < 0$ 时，$\beta_q = (S^ )^{-q - 1}e {-1} = (S^*)^{-q - 2}e_{-2}\wedge e_{-1} = \cdots = e_q\wedge e_{q + 1}\wedge\cdots\wedge e_{-2}\wedge e_{-1}$，我们称 $\beta_q$ 为扇区真空（向量）。

1.2 能量算子的性质

从前面的对易关系可得：
[
\left(H - \frac{1}{2}Q(Q - 1)\right)\beta_q = S^q\left(H - \frac{1}{2}Q(Q - 1)\r