13、李代数形式刚性的基础证明与达布变换不变量研究

李代数形式刚性的基础证明与达布变换不变量研究

1. 李代数上同调相关基础概念

在研究李代数的变形和刚性时，李代数上同调是一个关键概念。对于李代数 (W)，其伴随模 (W) 的二阶上同调有着重要意义。

1.1 基本定义

• 2 - 上链 ：一个 2 - 上链 (\psi) 是一个交替双线性映射 (\psi: W\times W\rightarrow W)。
• 2 - 上循环 ：若 2 - 上链 (\psi) 位于 (2 - ) 上边缘算子 (\delta^2) 的核中，则称其为 2 - 上循环。(\delta^2) 的定义为：
  (\delta^2\psi(x, y, z) := \psi([x, y], z) + \psi([y, z], x) + \psi([z, x], y) - [x, \psi(y, z)] + [y, \psi(x, z)] - [z, \psi(x, y)])
• 2 - 上边缘 ：若 2 - 上链 (\psi) 位于 (1 - ) 上边缘算子的像中，即存在线性映射 (\phi: W\rightarrow W) 使得 (\psi(x, y) = (\delta^1\phi)(x, y) := \phi([x, y]) - [\phi(x), y] - [x, \phi(y)])，则称 (\psi) 为 2 - 上边缘。
• 上同调类 ：差为上边缘的两个上循环称为上同调的。由于 (\delta^2\circ\delta^1