10、无限维辛表示的深入剖析

无限维辛表示的深入剖析

1. 向量与算子的构建

在无限维的研究中，我们遇到了一个与正交情况类似但符号不同的方程。基于此，我们将(A_2)视为向量(A_2 \in V^2\mathcal{H})，其表达式为：
[A_2 = \sum_{i \in I} v_i \vee u_i - \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{i \in I} v_i \otimes u_i]
这里需要注意，(| \sum_{i \in I} v_i \otimes u_i |^2 = \sum_{i \in I} | v_i |^2 | u_i |^2)。选择这样的(A_2)，能确保映射(A_2 \to \sqrt{2}A_2)关于(A_2)上的希尔伯特 - 施密特范数是等距的，即(| A_2 | {HS}^2 = \sum {j \in \mathbb{N}} | A_{2j} |^2)。我们可以选取一组正交基({ e_i }_{i \in I})，使得(e_i = \frac{v_i}{| v_i |})。

上述(A_2)的自伴性，保证了我们能构造出向量(A_2 \in V^2\mathcal{H})。而在正交情况下，(A_2)是斜自伴的，这反映了符号的变化。

接下来，我们通过推广创建算子的概念，将(A_2)映射到(\mathcal{F}_v(\mathcal{H}))上的一个算子。定义算子(a^ (A_2))作用在乘积向量上：
- (a^ (A_2) \Omega = A_2)
- (a^*(A_2)(f_1 \vee \cdots \vee f_n) = A_2 \vee f_1 \vee \cdot