结构力学数值方法：解析法：有限元方法原理_2024-08-05_01-46-16.Tex

结构力学数值方法：解析法：有限元方法原理

绪论

有限元方法的历史与发展

有限元方法（Finite Element Method, FEM）起源于20世纪40年代末，最初由工程师们在解决结构力学问题时提出。1943年，R. Courant在解决弹性力学问题时，首次提出了使用分片多项式逼近函数的概念，这被认为是有限元方法的雏形。然而，直到1956年，当O.C. Zienkiewicz和Y.K. Cheung在《工程计算》杂志上发表了一篇关于有限元方法的文章后，这一方法才开始被广泛认识和应用。

1960年代，随着计算机技术的发展，有限元方法得到了迅速的推广和应用，特别是在航空航天、汽车、土木工程等领域。1970年代，有限元软件开始商业化，如NASTRAN、ANSYS等，这使得有限元方法的应用更加普及。进入21世纪，有限元方法不仅在工程领域，还在生物医学、材料科学、环境科学等众多领域发挥着重要作用。

有限元方法的基本概念

有限元方法是一种数值求解偏微分方程的通用技术，尤其适用于解决复杂的工程问题。其基本思想是将连续的结构或系统离散化为有限个单元的集合，每个单元用简单的函数（如线性或二次函数）来近似描述其行为。通过在每个单元上应用基本的物理定律（如牛顿第二定律、能量守恒定律等），可以建立整个结构或系统的数学模型。

单元与节点

在有限元分析中，结构被划分为多个小的、可管理的单元，这些单元通过节点连接。节点是单元的边界点，单元的变形和应力状态通过节点的位移和力来描述。