特殊的变形组合公式求和的推导

特殊的变形组合公式求和的推导

设有a(n)=(n+m)/n*a(n-1) ,a(0)=1  （其中m是一个固定的整数)　　求a(n)的和

因为有递推式，所以有a(n)=(n+m)/n*(n+m-1)/(n-1)*...*(1+m)/1*a(0)

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a(n)=(n+m)/n*(n+m-1)/(n-1)*...*(1+m)/1

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a(n)=(n+m)*(n+m-1)*...*(1+m)/n!

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a(n)=C(n+m, n) 

 

注意以前从概率的角度求C(n,k)的本质公式的来历的时候，出现过这样的情况有：

a(n,k)=a(n-1,k)+a(n-1,k-1)

因为a(n-1,k-1)=k/(n-k)*a(n-1,k)

所以a(n,k)=n/(n-k)*a(n-1,k)

这个时候k也是固定常数，并且有a(k,k)=k!,/

比较这个公式和上面的递推式可以发现，这里的n等于上面的n+k。所以这样就得到了一般公式。

 

 

对于求和而言，这里有一种形式变换后的简单方法：

因为C(n+m, n) =C(n+m ,m)

而C(n+m ,m)　＝C(n+m+1,m+1)-C(n+m,m+1)

所以a(1)+a(2)+..+a(n)

={C(1+m+1,m+1)-C(1+m,m+1) } +   {C(2+m+1,m+1)-C(2+m,m+1) }+...+ {C(n+m+1,m+1)-C(n+m,m+1) }

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={C(n+m+1,m+1)-C(1+m,m+1) }

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={C(n+m+1,m+1)-1}

因为前面有假设条件a(0)=1

所以a(0)+a(1)+a(2)+..+a(n)=C(n+m+1,m+1)

 

从这里我们可以看出初始值对这个影响很大，这里面存在怎样的混沌现象？