TopCoder SRM697 div1 hard【prufer序列】

题目大意：

有$n\le 2000$个城市，每个城市有个权值$w_i$，任意两个城市之间的道路数有$w_i*w_j$条。对于每种生成树，设每个点的度数为$d_i$，其权值定义为$\prod d_i$。问所有无根生成树的权值和。答案对$10^9+7$取模。

解题思路：

主要说一下思路和推导过程。
考虑生成树中的一条边 $(i,j)$ 有 $w_i*w_j$ 种选择，那么一种生成树有 $\prod w_i^{d_i}$种同构，所以一种生成树的权值其实是$\prod (w_i^{d_i}d_i)$

考虑prufer序列，一个prufer序列对应一种无根树，且一个点度数为 $a$，就会在序列中出现 $a-1$ 次，那么

$$ans=\sum\limits_{\sum a_i=2n-2}\frac{(n-2)!}{\prod(a_i-1)!}\prod (w_i^{a_i}a_i)$$ $$=(n-2)!\prod w_i\sum\limits_{\sum a_i=n-2}\frac{1}{\prod a_i!}\prod [w_i^{a_i}(a_i+1)]$$

考虑后半部分怎么算，即

$$\sum_{a_1+\cdots+a_n=n-2} \frac{1}{a_1!\cdots a_n!}w_1^{a_1}\cdots w_n^{a_n}(a_1+1)\cdots (a_n+1)$$

将$(a_1+1)\cdots (a_n+1)$展开，计算每个单项式的贡献，如$a_1a_2a_3$，那么有：

$$\begin{aligned} & \sum_{a_1+\cdots+a_n=n-2} \frac{1}{a_1!\cdots a_n!}w_1^{a_1}\cdots w_n^{a_n}a_1a_2a_3 \\\\ =&w_1w_2w_3\sum_{a_1+\cdots+a_n=n-2-3} \frac{1}{a_1!\cdots a_n!}w_1^{a_1}\cdots w_n^{a_n} \\\\ =&w_1w_2w_3\frac{(w_1+\cdots+w_n)^{n-2-3}}{(n-2-3)!} \end{aligned}$$

据此，我们可以推断出，原式就等于:

$$\sum_{k=0}^{n-2} \left(\sum_{1\leq p_1 < p_2 <\cdots < p_k \leq n}\prod_{i=1}^k w_{p_i}\right) \frac{(w_1+\cdots+w_n)^{n-2-k}}{(n-2-k)!}$$
设$f_k$表示选 $k$ 个 $w_i$的乘积和，可以用$O(n^2)$的dp预处理出，那么 $$ans=(n-2)!\prod w_i\sum_{k=0}^{n-2} \ f_k\ \frac{(w_1+\cdots+w_n)^{n-2-k}}{(n-2-k)!}$$

时间复杂度$O(n^2)$