CodeForces 682E Alyona and Triangles【最大三角形 旋转卡壳or迭代】

题目大意：

给出n个点，任意三个点组成的三角形面积不超过S，S大于n个点可以组成三角形的最大面积；
构造一个大三角形覆盖上述所有n个点，并且面积不超过4S；

解题思路：

不得不说思路很巧妙，不过题目中的S取值也相当于给了个暗示。

结论：

先求出最大三角形$ABC$，再以abc分别作为三边中点所得三角形$A'B'C'$即是所求三角形。如图：

证明:

首先易得$S_\Delta A'B'C'=4S_\Delta ABC\le 4S$。

再证明所有点都会被$\Delta A'B'C'$包含，考虑反证法。
假设有一个点$D$不在$\Delta A'B'C'$中，比如在$A'B'$右侧，那么有
$dis(D,AB)>dis(C,AB)$，
所以$S_\Delta ABC<S_\Delta ABD$，这与$\Delta ABC$是最大三角形矛盾，所以不成立。
得证。

求最大三角形的方法有两种，第一种是旋转卡壳，第二种是迭代，复杂度都是$O(n^2)$，不过不知道迭代复杂度是怎么证明的。

AC代码：

旋转卡壳版：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int N=5005;
struct point
{
    int x,y;
    point(){}
    point(int _x,int _y):x(_x),y(_y){}
    inline friend point operator - (const point &a,const point &b)
    {return point(a.x-b.x,a.y-b.y);}
    inline friend point operator + (const point &a,const point &b)
    {return point(a.x+b.x,a.y+b.y);}
    inline friend ll operator * (const point &a,const point &b)
    {return 1ll*a.x*b.y-1ll*a.y*b.x;}
    inline ll dis(){return 1ll*x*x+1ll*y*y;}
}p[N],A,B,C;
int n,top;
ll S;

inline bool cmp(const point &a,const point &b)
{
    ll res=(a-p[1])*(b-p[1]);
    if(res)return res>0;
    return (a-p[1]).dis()<(b-p[1]).dis();
}

inline ll area(int i,int j,int k)
{
    return abs((p[j]-p[i])*(p[k]-p[i]));
}

void graham()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if((p[i].x<p[1].x)||(p[i].x==p[1].x&&p[i].y<p[1].y))swap(p[1],p[i]);
    sort(p+2,p+n+1,cmp),top=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        while(top>1&&(p[top-1]-p[i])*(p[top]-p[i])<0)top--;
        p[++top]=p[i];
    }n=top;
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    scanf("%d%lld",&n,&S);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
    graham();
    S=0;point a,b,c;
    for(int i=1;i<=n-2;i++)
        for(int j=i+1,k=j+1;j<=n-1;j++)
        {
            while(k<=n&&area(i,j,k+1)>=area(i,j,k))k++;
            if(area(i,j,k)>S)S=area(i,j,k),a=p[i],b=p[j],c=p[k];
        }
    A=a+(b-c),B=b+(c-a),C=c+(a-b);
    printf("%d %d\n%d %d\n%d %d\n",A.x,A.y,B.x,B.y,C.x,C.y);
    return 0;
}

迭代版：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int N=5005;
struct point
{
    int x,y;
    point(){}
    point(int _x,int _y):x(_x),y(_y){}
    inline friend point operator - (const point &a,const point &b)
    {return point(a.x-b.x,a.y-b.y);}
    inline friend point operator + (const point &a,const point &b)
    {return point(a.x+b.x,a.y+b.y);}
    inline friend ll operator * (const point &a,const point &b)
    {return 1ll*a.x*b.y-1ll*a.y*b.x;}
}p[N],A,B,C;
int n,top;
ll S;

inline ll area(int i,int j,int k)
{
    return abs((p[j]-p[i])*(p[k]-p[i]));
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    scanf("%d%lld",&n,&S);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
    int a=1,b=2,c=3;bool bz=1;
    S=area(a,b,c);
    while(bz)
    {
        bz=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            ll tmp;
            tmp=area(a,b,i);
            if(tmp>S)S=tmp,c=i,bz=1;
            tmp=area(a,i,c);
            if(tmp>S)S=tmp,b=i,bz=1;
            tmp=area(i,b,c);
            if(tmp>S)S=tmp,a=i,bz=1;
        }
    }
    A=p[a]+(p[b]-p[c]),B=p[b]+(p[c]-p[a]),C=p[c]+(p[a]-p[b]);
    printf("%d %d\n%d %d\n%d %d\n",A.x,A.y,B.x,B.y,C.x,C.y);
    return 0;
}