57、量子通信中的纠缠蒸馏与资源交易

量子通信中的纠缠蒸馏与资源交易

1. 纠缠蒸馏的概念与协议

1.1 纠缠蒸馏简介

纠缠蒸馏是一种从多个两体状态副本中提取 ebits（纠缠比特）的协议。在这个协议里，Alice 和 Bob 初始拥有多个两体状态 ρAB 的副本，他们通过本地操作以及 Alice 向 Bob 的前向经典通信，尝试以一定的正速率从中提取 ebits。如果状态是纯态，Alice 和 Bob 可以直接执行第 19 章提到的纠缠浓缩协议，此时无需前向经典通信；若状态不纯，则可执行如下定理证明中的协议。

1.2 Devetak–Winter 定理

假设 Alice 和 Bob 共享状态 ρ⊗nAB，其中 n 是任意大的正整数。如果允许 Alice 向 Bob 进行前向经典通信，那么他们能够以 I(A⟩B)ρ 的速率提取 ebits。

1.3 协议步骤

1. 类型类测量 ：
   • Alice 对系统 An 执行类型类测量，测量算符为类型投影算符：
     [
     \Pi_{t}^{n} \equiv \sum_{x^{n} \in T_{X^{n}}^{t}} |x^{n}\rangle\langle x^{n}|
     ]
   • 若测量结果不是典型类型，Alice 终止协议（这种情况发生的概率极小）；若是典型类型，则考虑特定类型类 t 上的码，其结构满足：
     [
     LMK \approx |T_{t}| \approx 2^{nH(X)}
     ]
     [
     K \approx 2^{nI(X;E)}
     ]
     [
     MK \approx 2^{nI(X;B)}
     ]
     其中 t 是类型类，熵是相对于如下去相位状态而言：
     [
     \sum_{x \in X} p_{X}(x) |x\rangle\langle x| {X} \otimes |\psi {x}\rangle\langle\psi_{x}|_{BE}
     ]
     由此可得 (M \approx 2^{n(I(X;B) - I(X;E))} = 2^{n[H(B) - H(E)]}) 和 (L \approx 2^{nH(X|B)})。
2. 不完全测量 ：
   • Alice 对系统 An 进行不完全测量，测量算符为：
     [
     \left{\Gamma_{l} \equiv \sum_{m,k} |m, k\rangle\langle x^{n}(l, m, k)| {A^{n}}\right} {l}
     ]
   • 此测量使状态塌缩为：
     [
     \frac{1}{\sqrt{MK}} \sum_{m,k} |m, k\rangle_{A^{n}} \otimes |\psi_{x^{n}(l,m,k)}\rangle_{B^{n}E^{n}}
     ]
3. 经典信息传输 ：
   • Alice 使用 (nH(X|B)) 比特的经典信息将 l 中的经典信息传输给 Bob，Bob 由此知道他们正在使用的码。
4. Bob 构建等距变换 ：
   • Bob 构建如下等距变换，这是一个类似于 (24.28) 中的相干 POVM：
     [
     \sum_{m,k} \Lambda_{m,k}^{B^{n}} \otimes |m, k\rangle_{B}
     ]
   • 执行该相干 POVM 后，状态接近：
     [
     \frac{1}{\sqrt{MK}} \sum_{m,k} |m, k\rangle_{A^{n}} \otimes |m, k\rangle_{B} |\psi_{x^{n}(l,m,k)}\rangle_{B^{n}E^{n}}
     ]
5. Fourier 变换基测量 ：
   • Alice 在 Fourier 变换基下对 k 寄存器进行测量：
     [
     \left{|\hat{s}\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{k} e^{i2\pi ks/K} |k\rangle\right}_{s \in {1, \ldots, K}}
     ]
   • 测量后的状态为：
     [
     \frac{1}{\sqrt{MK}} \sum_{m,k} |m\rangle_{A^{n}} \otimes e^{i2\pi ks/K} |m, k\rangle_{B} |\psi_{x^{n}(l,m,k)}\rangle_{B^{n}E^{n}}
     ]
6. s 变量传输与相位变换 ：
   • Alice 使用 (nI(X; E)) 比特将 s 变量传输给 Bob。
   • Bob 对其寄存器 B 中的 k 变量应用相位变换 (Z^{\dagger}(s))：
     [
     Z^{\dagger}(s) = \sum_{k} e^{-i2\pi sk/K} |k\rangle\langle k|
     ]
   • 变换后的状态为：
     [
     \frac{1}{\sqrt{MK}} \sum_{m,k} |m\rangle_{A^{n}} \otimes |m, k\rangle_{B} |\psi_{x^{n}(l,m,k)}\rangle_{B^{n}E^{n}}
     ]
7. 提取最大纠缠态 ：
   • 最后，他们按定理 24.3.1 直接编码部分协议的最后步骤 (24.45)–(24.52) 操作，提取出接近如下形式的最大纠缠态：
     [
     \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{m} |m\rangle_{A^{n}} \otimes |m\rangle_{B}
     ]
     提取速率为 ((\log M) / n = H(B) - H(E))。

1.4 纠缠蒸馏协议流程

graph LR
    A[开始] --> B[类型类测量]
    B -->|非典型类型| C[终止协议]
    B -->|典型类型| D[不完全测量]
    D --> E[经典信息 l 传输]
    E --> F[Bob 构建等距变换]
    F --> G[Fourier 变换基测量]
    G --> H[s 变量传输]
    H --> I[Bob 应用相位变换]
    I --> J[提取最大纠缠态]
    J --> K[结束]
    C --> K

2. 量子容量定理的历史与发展

2.1 早期研究

• Shor（1995）在关于量子纠错的开创性论文中首次提出寻找量子信道量子容量的问题。
• DiVincenzo 等人（1998）通过将随机码与重复码级联，证明了去极化信道的相干信息具有超可加性。
• Smith 和 Smolin（2007）将这一结果扩展到多个 Pauli 信道的例子，表明相干信息具有强超可加性。

2.2 相干信息的性质研究

• Schumacher 和 Nielsen（1996）证明了相干信息遵循量子数据处理不等式，类似于经典互信息的数据处理不等式。
• Schumacher 和 Westmoreland（1998）开始建立私密通信与量子通信之间的联系。

2.3 量子容量上下界的证明

• Bennett、DiVincenzo、Smolin 和 Wootters（1996）以及 Barnum 等人（2000）证明了前向经典通信不能增加量子容量，并引入了纠缠蒸馏的概念，该概念与量子容量相关。
• Schumacher（1996）、Schumacher 和 Nielsen（1996）、Barnum 等人（1998）和 Barnum 等人（2000）在一系列论文中取得了重要进展，确立了量子容量的相干信息上界。
• Lloyd（1997）、Shor（2002b）和 Devetak（2005）通常被认为证明了量子容量的相干信息下界，但 Lloyd 的证明可能不如后两者严格。Shor（2002b）在一次讲座中给出了下界的证明，但未在期刊上发表；后来，Hayden、Shor 和 Winter（2008）发表了一篇论文，详细阐述了他们认为与 Shor（2002b）证明精神相近的量子容量定理证明。Devetak（2005）通过分析私密经典码的码字叠加，提供了量子容量下界的详细证明。

2.4 其他相关研究

• Hamada（2005）展示了如何使用随机稳定子码在某些输入状态下达到相干信息。
• Harrington 和 Preskill（2001）展示了如何在非常特定的一类信道中达到相干信息速率。
• Gottesman（1997）建立了量子纠错的稳定子形式。

2.5 量子容量定理的研究时间线

年份	研究者	主要成果
1995	Shor	提出寻找量子信道量子容量的问题
1996	Schumacher 和 Nielsen	证明相干信息遵循量子数据处理不等式
1996	Schumacher	对量子容量定理取得重要进展
1997	Gottesman	建立量子纠错的稳定子形式
1997	Lloyd	证明量子容量的相干信息下界（可能不严格）
1998	DiVincenzo 等人	证明去极化信道的相干信息具有超可加性
1998	Schumacher 和 Westmoreland	建立私密通信与量子通信之间的联系
2000	Barnum 等人	证明前向经典通信不能增加量子容量，引入纠缠蒸馏概念
2002b	Shor	在讲座中给出量子容量下界的证明
2005	Devetak	提供量子容量下界的详细证明
2005	Hamada	展示使用随机稳定子码在某些输入状态下达到相干信息
2005	Harrington 和 Preskill	展示在特定一类信道中达到相干信息速率
2007	Smith 和 Smolin	证明相干信息在多个 Pauli 信道例子中的强超可加性
2008	Hayden、Shor 和 Winter	发表与 Shor（2002b）证明精神相近的量子容量定理证明

3. 量子容量定理的其他证明方法——解耦方法

3.1 解耦方法的基本概念

解耦方法是证明量子容量定理的另一种途径。该方法利用了 Schumacher 和 Westmoreland（2002）引入的一个基本概念。假设 Alice 通过有噪声信道传输其与参考系统的纠缠份额后，参考系统、Bob 和 Eve 共享一个三方纯纠缠态 (|\psi\rangle_{RBE})。若参考系统和 Eve 系统上的约化态 (\psi_{RE}) 近似解耦，即满足 (|\psi_{RE} - \psi_{R} \otimes \sigma_{E}| {1} \leq \varepsilon)（其中 (\sigma {E}) 是任意状态），这意味着 Bob 能够解码 Alice 打算发送给他的量子信息。

3.2 解耦条件与解码器的关系

若状态完全解耦，(\psi_{RE}) 的一个纯化态是信道作用后他们共享的状态 (|\psi\rangle_{RBE})，另一个纯化态是 (|\psi\rangle_{RB1} \otimes |\sigma\rangle_{B2E})（其中 (|\psi\rangle_{RB1}) 是 Alice 通过信道发送的原始状态，(|\sigma\rangle_{B2E}) 是纯化环境状态 (\sigma_{E}) 的某个状态）。由于所有纯化态通过等距变换相关，且 Bob 拥有 R 和 E 的纯化态，所以存在某个酉变换 (U_{B \to B1B2}) 使得 (U_{B \to B1B2}|\psi\rangle_{RBE} = |\psi\rangle_{RB1} \otimes |\sigma\rangle_{B2E})，这个酉变换就是 Bob 的解码器。因此，解耦条件意味着存在 Bob 的解码器，只需证明存在一个将参考系统与环境解耦的编码器即可。

3.3 解耦方法的应用

许多研究人员在各种情况下利用了解耦方法：
- Devetak 在证明量子容量定理时隐含地使用了解耦方法。
- Horodecki 等人（2005）和 Horodecki 等人（2007）利用它证明了状态合并协议的存在性。
- Yard 和 Devetak（2009）以及 Ye 等人（2008）在证明状态重新分配协议时使用了该方法。
- Dupuis 等人（2010）使用解耦方法证明了广播信道的纠缠辅助量子容量的最佳已知特征。
- Datta 及其同事在各种情况下应用了解耦方法，Wilde 和 Hsieh（2010）使用该方法研究了使用有噪声信道和有噪声状态的量子通信。

3.4 解耦方法应用情况列表

年份	研究者	应用情况
2005	Devetak	在证明量子容量定理时隐含使用解耦方法
2005	Horodecki 等人	利用解耦方法证明状态合并协议的存在性
2007	Horodecki 等人	利用解耦方法证明状态合并协议的存在性
2008	Ye 等人	在证明状态重新分配协议时使用解耦方法
2009	Yard 和 Devetak	在证明状态重新分配协议时使用解耦方法
2010	Dupuis 等人	使用解耦方法证明广播信道的纠缠辅助量子容量的最佳已知特征
2010	Buscemi 和 Datta	在相关研究中应用解耦方法
2010	Wilde 和 Hsieh	使用解耦方法研究使用有噪声信道和有噪声状态的量子通信
2011	Datta 和 Hsieh	在相关研究中应用解耦方法
2013	Datta 和 Hsieh	在相关研究中应用解耦方法

4. 量子容量的其他相关研究成果

4.1 特定信道的量子容量计算

• Bennett 等人（1997）求出了擦除信道的量子容量。
• Giovannetti 和 Fazio（2005）计算了振幅阻尼信道的量子容量。

4.2 超激活现象

• Smith 和 Yard（2008）展示了超激活现象，后来 Smith 等人（2011）展示了在实验室更容易实现的信道的超激活现象。

4.3 超可加性效应

• Cubitt 等人（2015）和 Elkouss 与 Strelchuk（2015）展示了惊人的超可加性效应，这表明需要一个正则化表达式来确定任意信道的量子容量。

4.4 误差指数、强逆和二阶特征

• Berta 等人（2013）证明了量子信道的纠缠成本是量子通信的强逆速率。
• Morgan 和 Winter（2014）为可降解信道的量子容量建立了所谓的“相当强的逆”，即当通信速率从低于量子容量变为高于量子容量时，保真度从 1 急剧转变为 1/2（在多次使用信道的极限情况下）。
• Wilde 和 Winter（2014）证明了通信速率超过量子擦除信道量子容量的随机选择码会导致保真度随着信道使用次数的增加而指数级快速下降。
• Tomamichel 等人（2014）证明了 Rains 界是任何信道量子通信的强逆速率，从而为任何去相位信道建立了强逆。
• Beigi 等人（2015）和 Tomamichel 等人（2015）建立了量子容量的二阶可实现性特征。Tomamichel 等人（2015）还通过使用 Rains 界给出了量子通信的二阶逆，并获得了去相位信道量子通信的精确二阶特征。

4.5 相关研究成果时间线

年份	研究者	主要成果
1997	Bennett 等人	求出擦除信道的量子容量
2005	Giovannetti 和 Fazio	计算振幅阻尼信道的量子容量
2008	Smith 和 Yard	展示超激活现象
2011	Smith 等人	展示实验室更容易实现的信道的超激活现象
2013	Berta 等人	证明量子信道的纠缠成本是量子通信的强逆速率
2014	Morgan 和 Winter	为可降解信道的量子容量建立“相当强的逆”
2014	Wilde 和 Winter	证明通信速率超过量子擦除信道量子容量的随机选择码导致保真度指数级快速下降
2014	Tomamichel 等人	证明 Rains 界是任何信道量子通信的强逆速率
2015	Beigi 等人	建立量子容量的二阶可实现性特征
2015	Tomamichel 等人	建立量子容量的二阶可实现性特征，给出量子通信的二阶逆，获得去相位信道量子通信的精确二阶特征

5. 资源交易与量子动态容量定理

5.1 信息处理任务概述

发送者和接收者最普遍的信息处理任务是通过多次独立使用量子信道，并借助经典通信、量子通信和共享纠缠，来传输经典和量子信息并生成纠缠。通信的最终速率是净速率，即资源的生成速率减去其消耗速率。所有可实现的速率构成一个三维容量区域的速率三元组 ((C, Q, E))，其中 C 是经典通信的净速率，Q 是量子通信的净速率，E 是纠缠消耗/生成的净速率。这个一般场景的容量定理称为量子动态容量定理。

5.2 量子动态容量定理的证明

5.2.1 直接编码定理

证明量子动态容量定理分为直接编码定理和逆定理两部分。直接编码定理表明，实现三维容量区域中任何点的策略非常简单：只需将推论 22.5.2 中用于纠缠辅助经典和量子通信的协议与隐形传态、超密编码和纠缠分发这三个单位协议相结合。可实现速率区域的解释是，它是第 8 章中的单位资源容量区域沿着推论 22.5.2 协议可实现的点进行平移得到的。

5.2.2 逆定理

在逆定理的证明中，分析了最一般的协议，该协议可以消耗和生成经典通信、量子通信和纠缠，同时消耗多次独立使用的量子信道。结果表明，这种协议的净速率受到可实现速率区域正则化的限制。在一般情况下，该特征是多字母的，即计算容量区域需要对可能无限次的信道使用进行优化，因此难以处理。不过，对于量子 Hadamard 信道和量子擦除信道这两类特殊信道，不需要正则化，可以针对单个信道实例计算其容量区域。纯损耗玻色子信道的容量区域也是已知的，但其最优性证明依赖于一个许多研究人员认为正确的长期猜想。

5.3 时间共享与权衡编码策略

在三维通信场景中，一个重要问题是是否真的需要利用推论 22.5.2 中的权衡编码策略。另一种策略是时间共享，即发送者和接收者在不同时间段分别使用经典通信码、量子通信码、纠缠辅助码等，这样可以实现容量区域中任何速率三元组的凸组合。答案取决于信道：
- 对于量子擦除信道，时间共享是最优的。
- 对于去相位信道或纯损耗玻色子信道，时间共享不是最优的，权衡编码可以带来比时间共享更大的性能提升。

5.4 时间共享与权衡编码策略对比

策略	适用信道	性能特点
时间共享	量子擦除信道	最优策略
时间共享	去相位信道、纯损耗玻色子信道	非最优策略
权衡编码	去相位信道、纯损耗玻色子信道	可带来比时间共享更大的性能提升

5.5 量子动态容量定理证明流程

graph LR
    A[开始] --> B[直接编码定理证明]
    B --> C[结合纠缠辅助协议与单位协议]
    C --> D[确定可实现速率区域]
    A --> E[逆定理证明]
    E --> F[分析最一般协议]
    F --> G[确定净速率限制]
    D --> H[得出量子动态容量区域]
    G --> H
    H --> I[结束]

综上所述，量子通信领域在纠缠蒸馏、量子容量定理的证明以及资源交易等方面取得了丰富的研究成果。不同的方法和策略在不同的信道条件下具有不同的性能表现，未来还需要进一步深入研究以挖掘更多的潜力和优化通信方案。