48、量子信道中纠缠辅助经典通信的原理与应用

量子信道中纠缠辅助经典通信的原理与应用

1. 引言

在量子通信领域，纠缠辅助经典通信是一个重要的研究方向。它利用量子纠缠的特性来提高经典信息传输的效率和可靠性。本文将详细介绍纠缠辅助经典通信的信息处理任务、初步示例、容量定理以及直接编码定理等内容。

2. 信息处理任务

在纠缠辅助经典通信中，我们首先要明确信息处理任务。在协议开始前，假设Alice和Bob共享纯态纠缠态ΨTATB。具体步骤如下：
1. 消息选择 ：Alice从消息集合M中选择消息m，M对应的随机变量为M，集合M的基数为|M|。
2. 编码操作 ：Alice根据所选消息m，对其纠缠态份额ΨTATB应用编码信道EmTA→A′n，全局状态变为EmTA→A′n(ΨTATB)。
3. 信道传输 ：Alice通过n次独立使用噪声信道NA′→B传输系统A′n，得到状态NA′n→Bn(EmTA→A′n(ΨTATB))，其中NA′n→Bn ≡(NA′→B)⊗n。
4. 解码操作 ：Bob接收系统Bn，将其与自己的纠缠份额TB结合，并执行POVM {ΛmBnTB}来检测Alice传输的消息m。

通信速率C定义为C ≡ 1/n log |M|，当最大错误概率p∗e ≤ ε时，称该码具有ε误差。若对于所有ε ∈(0, 1)，δ > 0和足够大的n，存在(n, C - δ, ε)纠缠辅助经典码，则速率C是可实现的。量子信道N的纠缠辅助经典容量CEA(N)等于所有可实现速率的上确界。

下面是该过程的mermaid流程图：

graph LR
    A[Alice选择消息m] --> B[Alice编码EmTA→A′n]
    B --> C[通过噪声信道NA′→B传输A′n]
    C --> D[Bob接收Bn]
    D --> E[Bob结合TB并执行POVM {ΛmBnTB}]

3. 初步示例

在介绍初步示例之前，我们先回顾一些关于qudit的知识。最大纠缠qudit态定义为|Φ⟩AB ≡ d−1/2 ∑d−1i=0 |i⟩A|i⟩B，Heisenberg - Weyl算子X(x)和Z(z)是Pauli矩阵在d维的扩展：
[X(x) \equiv \sum_{x’=0}^{d - 1} |x + x’\rangle\langle x’|]
[Z(z) \equiv \sum_{z’=0}^{d - 1} e^{2\piizz’/d}|z’\rangle\langle z’|]

当Alice对最大纠缠态|Φ⟩AB应用算子X(x)Z(z)时，得到状态|Φx,z⟩AB ≡(XA(x)ZA(z) ⊗IB) |Φ⟩AB。集合{|Φx,z⟩AB}d−1x,z=0构成一个完备正交基。

假设Alice和Bob拥有最大纠缠qudit态|Φ⟩AB，具体操作如下：
1. 随机选择符号 ：Alice随机均匀选择两个符号x和z，每个符号取值范围为{0, …, d - 1}。
2. 状态变换 ：Alice对其纠缠态份额应用算子X(x)Z(z)，得到状态|Φx,z⟩AB。
3. 信道传输 ：Alice将系统A通过噪声信道NA→B′传输，Bob接收输出B′。
4. 形成集合 ：Bob接收到的集合为{(d−2, (NA→B′ ⊗idB) (Φx,zAB))}。

通过计算该集合的Holevo信息，我们可以得到以下推论：
推论21.2.1 ：状态σAB ≡NA′→B(ΦAA′)的量子互信息I(A; B)σ是量子信道NA′→B上纠缠辅助经典通信的可实现速率。

证明过程如下：
集合{(d−2, (NA→B′ ⊗idB) (Φx,zAB))}对应经典 - 量子态：
[ρXZB′B \equiv \sum_{x,z = 0}^{d - 1} \frac{1}{d^2} |x\rangle\langle x|X \otimes|z\rangle\langle z|Z \otimes(NA→B′ \otimesidB) (Φx,zAB)]
其Holevo信息I(XZ; B′B)ρ = H(B′B)ρ - H(B′B|XZ)ρ是可实现速率。通过计算：
1. 计算H(B′B)ρ ：
[TrXZ {ρXZB′B} = \sum_{x,z = 0}^{d - 1} \frac{1}{d^2} (NA→B′ \otimesidB) (Φx,zAB) = (NA→B′ \otimesidB) (πAB) = NA→B′(πA) \otimesπB]
所以H(B′B) = H(NA→B′(πA)) + H(πB)。
2. 计算H(B′B|XZ)ρ ：
[H(B′B|XZ)ρ = \sum_{x,z = 0}^{d - 1} \frac{1}{d^2} H ((NA→B′ \otimesidB) (Φx,zAB)) = H(NA→B′(ΦAB))]
因此，I(XZ; B′B)ρ = H(N(πA)) + H(πB) - H((NA→B′ ⊗idB) (ΦAB))，等价于量子互信息I(A; B)σ。

对于某些信道，如去极化信道、去相位信道和擦除信道，推论21.2.1中的量子互信息等于该信道的纠缠辅助经典容量，但对于振幅阻尼信道等，情况并非如此。

4. 纠缠辅助容量定理

定理21.3.1 (Bennett–Shor–Smolin–Thapliyal) ：量子信道的纠缠辅助经典容量等于该信道的互信息，即CEA(N) = I(N)，其中信道N的互信息I(N)定义为I(N) ≡ maxϕAA′ I(A; B)ρ，ρAB ≡NA′→B(ϕAA′)，且ϕAA′是纯二部态。

5. 直接编码定理

直接编码定理表明以下资源不等式对应量子信道NA′→B上纠缠辅助经典通信的可实现协议：
⟨N⟩ + H(A)ρ [qq] ≥ I(A; B)ρ [c → c]，其中ρAB ≡NA′→B(ϕAA′)。

证明过程如下：
假设Alice和Bob共享n个任意纯二部纠缠态|ϕ⟩AB，或通过纠缠稀释协议将nH(A)个共享ebit转换为约n个|ϕ⟩AB。
1. Schmidt分解 ：每个纯二部态都有Schmidt分解|ϕ⟩AB ≡ ∑x √pX(x)|x⟩A|x⟩B，n个该态的组合为|ϕ⟩AnBn ≡ ∑xn √pXn(xn)|xn⟩An|xn⟩Bn。
2. 类型分解 ：将|ϕ⟩AnBn进行类型分解，得到|ϕ⟩AnBn = ∑t p(t)|Φt⟩AnBn，其中|Φt⟩AnBn是最大纠缠态。
3. 编码操作 ：Alice从Heisenberg - Weyl集合中选择酉算子V(xt, zt) = X(xt)Z(zt)作用于|Φt⟩AnBn的An份额，并在每个子空间应用相位(-1)bt，得到酉算子U(s)。
4. 随机编码 ：对于每个消息m，Alice随机选择向量s(m)，得到纠缠辅助量子码字|ϕm⟩AnBn ≡(UAn(s(m)) ⊗IBn) |ϕ⟩AnBn。
5. 信道传输 ：Alice通过量子信道NA→B′传输系统An，得到状态NAn→B′n(|ϕm⟩⟨ϕm|AnBn)。
6. 解码操作 ：Bob需要确定Alice传输的消息m，通过POVM {Λm}进行解码。

为了证明存在可靠的解码POVM，我们需要利用第16章的打包引理，该引理需要四个对象，并满足四个不等式：
1. 集合选择 ：集合为{(1/|S|, U TBn(s)ρB′nBnU ∗Bn(s))}s∈S。
2. 期望密度算子 ：期望密度算子ρB′nBn ≡ ES[U T (S)BnρB′nBnU ∗(S)Bn]。
3. 消息子空间投影算子 ：U TBn(s)Πρ,δB′nBnU ∗Bn(s)。
4. 总子空间投影算子 ：Πρ,δB′n ⊗Πρ,δBn。

四个不等式如下：
[Tr[(\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn}) (U_{Bn}^T(s)\rho_{B’nBn}U_{Bn}^ (s))] \geq 1 - \varepsilon]
[Tr[(U_{Bn}^T(s)\Pi_{\rho,\delta}^{B’nBn}U_{Bn}^ (s)) (U_{Bn}^T(s)\rho_{B’nBn}U_{Bn}^ (s))] \geq 1 - \varepsilon]
[Tr[U_{Bn}^T(s)\Pi_{\rho,\delta}^{B’nBn}U_{Bn}^ (s)] \leq 2^{n[H(B’B) {\rho}+c\delta]}]
[(\Pi {\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn}) \rho_{B’nBn} (\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn}) \leq 2^{-n[H(B’) {\rho}+H(B) {\rho}-\eta(n,\delta)-c\delta]} (\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn})]

通过逐步证明这四个不等式，我们可以得出存在确定性码和POVM {ΛmB′nBn}，能够以任意低的最大错误概率检测传输的状态。

下面是该过程的表格总结：
|步骤|操作|说明|
|----|----|----|
|消息选择|Alice从消息集合M中选择消息m| - |
|编码操作|Alice根据消息m对纠缠态进行编码| - |
|信道传输|Alice通过噪声信道传输编码后的系统| - |
|解码操作|Bob接收传输的系统并执行POVM进行解码| - |
|随机编码|Alice随机选择酉算子生成纠缠辅助量子码字| - |
|信道传输|Alice通过量子信道传输纠缠辅助量子码字| - |
|解码操作|Bob利用打包引理确定可靠的解码POVM| - |

综上所述，纠缠辅助经典通信通过巧妙利用量子纠缠的特性，为经典信息传输提供了新的途径和方法。通过对信息处理任务、初步示例、容量定理和直接编码定理的研究，我们可以更好地理解和应用这一技术。在实际应用中，我们可以根据不同的信道特性，选择合适的编码和解码方案，以提高通信效率和可靠性。

量子信道中纠缠辅助经典通信的原理与应用（续）

6. 不等式证明与代码构造

在直接编码定理的证明中，我们需要证明打包引理的四个不等式。以下是详细的证明过程：

6.1 证明不等式 (Tr[(U_{Bn}^T(s)\Pi_{\rho,\delta}^{B’nBn}U_{Bn}^ (s)) (U_{Bn}^T(s)\rho_{B’nBn}U_{Bn}^ (s))] \geq 1 - \varepsilon)

根据迹的循环性和 (U^ U^T = I)，有：
[
\begin{align }
Tr[(U_{Bn}^T(s)\Pi_{\rho,\delta}^{B’nBn}U_{Bn}^ (s)) (U_{Bn}^T(s)\rho_{B’nBn}U_{Bn}^ (s))] &= Tr[\Pi_{\rho,\delta}^{B’nBn}\rho_{B’nBn}]\
&\geq 1 - \varepsilon
\end{align*}
]
这里的不等式利用了典型投影算子的单位概率性质（Property 15.1.1）。

6.2 证明不等式 (Tr[U_{Bn}^T(s)\Pi_{\rho,\delta}^{B’nBn}U_{Bn}^*(s)] \leq 2^{n[H(B’B)_{\rho}+c\delta]})

同样根据迹的循环性，可得：
[
\begin{align }
Tr[U_{Bn}^T(s)\Pi_{\rho,\delta}^{B’nBn}U_{Bn}^ (s)] &= Tr[\Pi_{\rho,\delta}^{B’nBn}]\
&\leq 2^{n[H(B’B)_{\rho}+c\delta]}
\end{align*}
]
此不等式依据典型子空间的“指数较小基数”性质（Property 15.1.2）。

6.3 证明不等式 (Tr[(\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn}) (U_{Bn}^T(s)\rho_{B’nBn}U_{Bn}^*(s))] \geq 1 - 2\varepsilon)

首先，定义 (\hat{P} = I - P)，则：
[
\begin{align }
\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn} &= (I - \hat{\Pi} {\rho,\delta}^{B’n}) \otimes (I - \hat{\Pi} {\rho,\delta}^{Bn})\
&= (I_{B’n} \otimes I_{Bn}) - (\hat{\Pi} {\rho,\delta}^{B’n} \otimes I {Bn}) - (I_{B’n} \otimes \hat{\Pi} {\rho,\delta}^{Bn}) + (\hat{\Pi} {\rho,\delta}^{B’n} \otimes \hat{\Pi} {\rho,\delta}^{Bn})\
&\geq (I {B’n} \otimes I_{Bn}) - (\hat{\Pi} {\rho,\delta}^{B’n} \otimes I {Bn}) - (I_{B’n} \otimes \hat{\Pi}_{\rho,\delta}^{Bn})
\end{align }
]
然后，通过一系列推导：
[
\begin{align }
Tr[(\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn}) (U_{Bn}^T(s)\rho_{B’nBn}U_{Bn}^ (s))] &\geq Tr[U_{Bn}^T(s)\rho_{B’nBn}U_{Bn}^ (s)] - Tr[(\hat{\Pi} {\rho,\delta}^{B’n} \otimes I {Bn}) (U_{Bn}^T(s)\rho_{B’nBn}U_{Bn}^ (s))] - Tr[(I_{B’n} \otimes \hat{\Pi} {\rho,\delta}^{Bn}) (U {Bn}^T(s)\rho_{B’nBn}U_{Bn}^ (s))]\
&= 1 - Tr[\hat{\Pi} {\rho,\delta}^{B’n}\rho {B’n}] - Tr[\hat{\Pi} {\rho,\delta}^{Bn}\rho {Bn}]\
&\geq 1 - 2\varepsilon
\end{align }
]
这里利用了典型投影算子的单位概率性质（Property 15.1.1）。

6.4 证明不等式 ((\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn}) \rho_{B’nBn} (\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn}) \leq 2^{-n[H(B’) {\rho}+H(B) {\rho}-\eta(n,\delta)-c\delta]} (\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn}))

首先，证明期望密度算子 (\rho_{B’nBn}) 的形式为 (\rho_{B’nBn} = \sum_{t} p(t) N_{A^n \to B’^n}(\pi_t^{A^n}) \otimes \pi_t^{B^n})。通过对未应用信道的状态求期望，再应用信道，可得：
[
\begin{align }
\rho_{A^nB^n} &= \frac{1}{|S|} \sum_{s \in S} U_{Bn}^T(s)|\phi\rangle\langle\phi| {A^nB^n}U {Bn}^ (s)\
&= \sum_{t} p(t) \pi_t^{A^n} \otimes \pi_t^{B^n}
\end{align }
]
然后，根据线性性质，有：
[
\rho_{B’nBn} = \sum_{t} p(t) N_{A^n \to B’^n}(\pi_t^{A^n}) \otimes \pi_t^{B^n}
]
接着，通过一系列推导：
[
\begin{align }
(\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn}) \rho_{B’nBn} (\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn}) &= \sum_{t} p(t) (\Pi_{\rho,\delta}^{B’n}N_{A^n \to B’^n}(\pi_t^{A^n})\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn}\pi_t^{Bn}\Pi_{\rho,\delta}^{Bn})\
&\leq \sum_{t} p(t) (\Pi_{\rho,\delta}^{B’n}N_{A^n \to B’^n}(\pi_t^{A^n})\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes 2^{-n[H(B) {\rho}-\eta(n,\delta)]}\Pi {\rho,\delta}^{Bn})\
&= \Pi_{\rho,\delta}^{B’n}N_{A^n \to B’^n}(\phi_{A^n})\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes 2^{-n[H(B) {\rho}-\eta(n,\delta)]}\Pi {\rho,\delta}^{Bn}\
&\leq 2^{-n[H(B’) {\rho}-c\delta]}\Pi {\rho,\delta}^{B’n} \otimes 2^{-n[H(B) {\rho}-\eta(n,\delta)]}\Pi {\rho,\delta}^{Bn}\
&= 2^{-n[H(B’) {\rho}+H(B) {\rho}-\eta(n,\delta)-c\delta]} (\Pi_{\rho,\delta}^{B’n} \otimes \Pi_{\rho,\delta}^{Bn})
\end{align*}
]
这里利用了典型投影算子的相关性质。

通过证明这四个不等式，根据打包引理的推论（Corollary 16.5.1），存在确定性码和POVM ({\Lambda_m^{B’nBn}})，能够以任意低的最大错误概率检测传输的状态。

下面是证明过程的mermaid流程图：

graph LR
    A[证明不等式1] --> B[证明不等式2]
    B --> C[证明不等式3]
    C --> D[证明不等式4]
    D --> E[得出存在确定性码和POVM]

7. 编码方案的特点与应用

在上述编码方案中，有一个重要的特点：当使用该编码方案时，忽略Bob的纠缠份额 (B^n) 后，信道输出的约化状态是相同的张量幂状态，与Alice在信道输入处应用的酉算子无关。即：
[
Tr_{B^n} {N_{A^n \to B’^n}(|\phi_m\rangle\langle\phi_m| {A^nB^n})} = \rho {B’^n} = N_{A^n \to B’^n}(\phi_{A^n})
]
其中 (\phi_{A^n} = (Tr_B {\phi_{AB}})^{\otimes n})。这一特点在后续章节中用于构造同时传输经典和量子信息的代码。

在实际应用中，纠缠辅助经典通信可以用于提高通信的安全性和效率。例如，在量子密钥分发中，通过利用纠缠辅助经典通信，可以更可靠地传输密钥信息，从而增强通信的安全性。同时，在一些对通信速率要求较高的场景中，这种通信方式可以充分利用量子纠缠的特性，提高经典信息的传输速率。

8. 总结与展望

纠缠辅助经典通信作为量子通信领域的重要研究方向，具有巨大的潜力和应用前景。通过本文的介绍，我们详细了解了其信息处理任务、初步示例、容量定理和直接编码定理。

在信息处理任务中，明确了Alice和Bob之间的通信流程，包括消息选择、编码、信道传输和解码等步骤。初步示例展示了如何利用最大纠缠qudit态和Heisenberg - Weyl算子实现纠缠辅助经典通信，并通过计算Holevo信息证明了量子互信息是可实现速率。容量定理给出了量子信道的纠缠辅助经典容量与信道互信息的关系。直接编码定理则通过一系列的证明，说明了存在可靠的编码和解码方案，能够以任意低的错误概率传输经典信息。

未来，随着量子技术的不断发展，纠缠辅助经典通信有望在更多领域得到应用。例如，在量子互联网的构建中，它可以作为一种重要的通信手段，实现高效、安全的信息传输。同时，进一步研究不同类型量子信道的纠缠辅助容量，以及如何优化编码和解码方案，将是未来研究的重要方向。

下面是整个纠缠辅助经典通信过程的总结表格：
|方面|内容|
|----|----|
|信息处理任务|消息选择、编码、信道传输、解码|
|初步示例|利用最大纠缠qudit态和Heisenberg - Weyl算子，计算Holevo信息|
|容量定理|CEA(N) = I(N)|
|直接编码定理|证明存在可靠的编码和解码方案|
|应用前景|量子密钥分发、量子互联网|

总之，纠缠辅助经典通信为我们提供了一种全新的通信方式，它将量子力学的奇妙特性与经典信息传输相结合，为未来的通信技术带来了新的机遇和挑战。