44、量子信道信息论：原理、历史与经典容量

量子信道信息论：原理、历史与经典容量

1. 信道熵

1.1 冯·诺伊曼熵

量子信息处理利用了信息的量子特性，在计算机科学领域提供了全新的解决方案，将可能性扩展到了经典通信系统无法想象的水平。冯·诺伊曼熵在量子信息中扮演着类似于香农熵在经典信息论中的基础角色。量子态 $\rho$ 的冯·诺伊曼熵 $S(\rho)$ 可视为经典熵在量子系统中的扩展，它以量子态的不确定性形式来衡量量子态的信息。

经典变量 $X$ 具有概率分布 $p(X)$ 时，其香农熵 $H(X)$ 定义为：
$H(X) = -\sum_{x\in X} p(x) \log p(x)$
且满足 $1 \leq H(X) \leq \log(|X|)$，其中 $|X|$ 是集合 $X$ 的基数。

量子态 $\rho$ 的冯·诺伊曼熵定义为：
$S(\rho) = -Tr(\rho \log \rho)$
此外，$S(\rho)$ 还可以通过特征值分布的香农熵来表示：
$S(\rho) = H(\lambda) = -\sum_{i = 1}^{d} \lambda_i \log \lambda_i$
其中 $d$ 是量子系统的能级，$\lambda_i$ 是密度矩阵 $\rho$ 的特征值。

1.2 霍勒沃量

霍勒沃界确定了从单量子比特态中可提取的信息量。若发送方 $A$ 以概率 $p_i$ 通过理想量子信道发送量子态 $\rho_i$，则接收方 $B$ 会接收到混合态 $\rho_B = \rho_A = \sum_i p_i \rho_i$。接收方 $B$ 构建测量 ${M_i}$ 以提取