32、带参数的最大路径着色问题研究

带参数的最大路径着色问题研究

1. 引言

路径着色问题（PC）及其对应的最大化问题 MaxPC 是图论中的重要问题，本文聚焦于它们在树结构上的限制情况。PC 要求满足所有给定的需求，而 MaxPC 则是在给定的需求集合中寻找最多数量的可 $W$ 着色路径集合。两者复杂度存在差异，一个直观的解释是在归约实例中，MaxPC 有很大一部分请求必须被拒绝，这与 PC 需满足所有请求的情况不同。

2. 定义与预备知识

• 问题定义 ：输入为无向树 $G(V, E)$ 和需求多重集 $D \subseteq V \times V$，每个需求对应 $G$ 中连接其两个顶点的唯一路径。同时给定两个整数 $W$（颜色数量）和 $B$（需满足的需求数量）。问题是是否存在 $W$ 个互不相交的子集 $D_1, D_2, \ldots, D_W \subseteq D$，使得每个子集 $D_i$ 中没有共享边的需求，且 $\sum_{i = 1}^{W} |D_i| \geq B$。当 $B = |D|$ 时为 PC 问题，而寻求最大化 $B$ 的问题通常称为 MaxPC 问题。
• 图的类型 ：图 $G$ 可以是无向的，此时需求对的顺序无关紧要；也可以是双向的，在这种情况下，相同颜色的两个满足需求允许使用同一条边，但方向相反。
• 参数表示 ：用 $\Delta$ 表示 $G$ 的最大度，$n$ 表示顶点数量，$t$ 表示 $G$ 的树宽（若 $G$ 是树，$t = 1$），$T = |D| - B$ 表示允许拒绝的需求数量。不同参数化