32、参数化最大路径着色问题研究

参数化最大路径着色问题研究

1. 引言

路径着色问题（PC）及其对应的最大化问题 MaxPC 是图论中的重要问题，尤其在树结构上的研究具有重要意义。PC 要求满足所有需求，而 MaxPC 则是在给定颜色数量和需求集合的情况下，最大化可满足的需求数量。本文将探讨不同参数对 MaxPC 问题复杂度的影响，并分析各种特殊情况和参数化形式。

2. 问题定义与预备知识

2.1 问题定义

• 路径着色问题（PC） ：给定无向树 $G(V, E)$ 和需求集合 $D \subseteq V \times V$，每个需求对应树中连接两个顶点的唯一路径。同时给定颜色数量 $W$ 和需满足的需求数量 $B$。问题是是否存在 $W$ 个互不相交的子集 $D_1, D_2, \ldots, D_W \subseteq D$，使得每个子集 $D_i$ 中没有共享边的需求，且 $\sum_{i = 1}^{W} |D_i| \geq B$。当 $B = |D|$ 时，即为 PC 问题。
• 最大路径着色问题（MaxPC） ：在 PC 问题的基础上，寻求最大化 $B$ 的值。

2.2 图的类型

图 $G$ 可以是无向图或双向图。在无向图中，需求对的顺序无关紧要；在双向图中，相同颜色的两个满足需求可以使用同一条边，但方向相反。

2.3 参数定义

• $\Delta$：图 $G$ 的最大度
• $n$：图 $G$ 的顶点数量
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