26、平面支配集的简单线性时间核化算法

平面支配集的简单线性时间核化算法

1. 引言

本研究处于两个活跃研究领域的交叉点：一是平面图形上的NP难问题，利用其结构特性来获得更好的算法（近似算法或固定参数算法）；二是多项式时间数据约简和问题核化，这是参数化复杂度分析的一个重要子领域。

平面图形问题在参数化复杂度分析的多个研究方向发展中起着重要作用。例如，亚指数时间固定参数算法的主题最初就是针对平面图形上的支配集问题进行研究的。平面图形上支配集问题的线性大小问题核，可视为近期问题核研究成果快速增长的核心。

在平面图形的支配集问题中，给定一个无向平面图形G和一个正整数k，需要选择最多k个顶点，使得G中每个未选择的顶点至少有一个已选择的邻接点。之前有能在立方时间内计算出335k顶点和67k顶点的问题核算法，其重点在于设计数据约简规则以获得较小的可证明核大小。而本文的目标是改进已知规则的使用方式，将运行时间从立方时间提升到线性时间，同时保持线性大小的问题核。

2. 与先前核化算法的比较

为了获得平面图形上支配集问题的线性大小问题核，我们采用了Alber等人开发的框架。他们证明了一个具有支配数γ(G)的平面图形G可以分解为O(γ(G))个所谓的“区域”。通过数据约简，可确保每个区域具有恒定大小，并且有O(γ(G))个顶点不在任何区域内。

区域R是平面图形G嵌入平面后的一部分，每个区域包含两个顶点v和w，使得N[v, w]包含R的所有顶点，并且有一个边界将R与G的其余部分分隔开，具体定义如下：
- 区域定义 ：设G是一个平面图形，两个顶点v和w之间的区域R(v, w)是平面的一个封闭有界子集S，满足：
- 区域R(