11、图论中的两个重要问题：容量支配集与图同构

图论中的两个重要问题：容量支配集与图同构

在图论领域，容量支配集问题和图同构问题一直是研究的热点。下面将详细介绍这两个问题的相关算法和解决方案。

容量支配集问题

容量支配集问题有多种变体，其中约束容量支配集问题是一个可在多项式时间内解决的版本。

约束容量支配集问题

• 问题定义 ：输入为无向图 $G = (V, E)$、集合 $U ⊆ V$ 以及容量函数 $c : V → {0, …, n - 1}$。目标是找到包含 $U$ 的最小容量支配集 $S ⊆ V$，使得 $U$ 外的每个顶点最多支配另一个顶点。形式上，需要找到满足特定条件的支配函数 $f_S$。
• 图的转换 ：构建一个新图 $G’ = (V’, E’)$，其顶点和边的规则如下：
  • 对于 $V \ U$ 中的任意顶点 $v$，$v$ 属于 $V’$。
  • 对于 $U$ 中的任意顶点 $v$，在 $V’$ 中有 $c(v)$ 个 $v$ 的副本 $v_1, v_2, …, v_{c(v)}$。
  • 对于 $V \ U$ 中的任意顶点 $v$ 和 $U$ 中的顶点 $u$，当且仅当 $uv$ 属于 $E$ 时，对于所有的 $i$，$u_iv$ 属于 $E’$。
  • 对于 $V \ U$ 中的顶点 $v$ 和 $w$，当且仅当 $vw$ 属于 $E$ 且 $c(v) + c(w) > 0$ 时，$vw$ 属于 $E’$。
  • 对于 $U$ 中的顶点 $v$ 和 $w$