11、图算法：电容支配集与有界反馈顶点集数图同构问题解析

图算法：电容支配集与有界反馈顶点集数图同构问题解析

电容支配集问题

电容支配集（Capacitated Dominating Set）问题是图论中的一个重要问题，下面将详细介绍该问题及其相关算法。

受限电容支配集问题

受限电容支配集（Constrained Capacitated Dominating Set）问题是电容支配集问题的一个受限版本，可在多项式时间内求解。其输入包括一个无向图 $G = (V, E)$、一个顶点子集 $U \subseteq V$ 以及一个容量函数 $c : V \to {0, \ldots, n - 1}$。我们需要找到一个包含 $U$ 的最小电容支配集 $S \subseteq V$，使得 $U$ 之外的每个顶点最多支配另一个顶点。具体而言，我们需要一个支配函数 $f_S$ 满足以下条件：
- 对于每个 $v \in S \setminus U$，有 $|f_S^{-1}(v)| \leq 1$；
- 对于每个 $v \in U$，有 $|f_S^{-1}(v)| \leq c(v)$。

为了解决这个问题，我们构造一个新图 $G’ = (V’, E’)$，其规则如下：
- 对于任意 $v \in V \setminus U$，有 $v \in V’$；
- 对于任意 $v \in U$，在 $V’$ 中有 $c(v)$ 个 $v$ 的副本 $v_1, v_2, \ldots, v_{c(v)}$；
- 对于任意 $v \in V \setminus U$ 和 $u \in U$，当且仅当 $uv \in E$ 时，对于所有 $i$ 有 $u_iv \in E’$；