48、图论中的P3 - 分解与游戏支配数研究

图论中的P3 - 分解与游戏支配数研究

一、P3 - 分解相关内容

在图论研究中，对于完全图的三角化笛卡尔积的P3 - 分解是一个重要的研究方向。

（一）序列分组与哈密顿圈分组

对于集合I中的元素序列S₁和S₁’，它们是不相交的，且它们的并集为I。当S₁包含奇数个项时，将前3个连续项分为一组，其余的连续项两两一组，例如1 ⊕ 9 ⊕ 5和7 ⊕ 6；而S₁’包含偶数个项时，将连续项两两分组，如2 ⊕ 4和8 ⊕ 3。由于I中的元素对应于Kp的哈密顿圈，所以相应地将哈密顿圈分组为H₁ ⊕ H₉ ⊕ H₅，H₇ ⊕ H₆，H₂ ⊕ H₄和H₈ ⊕ H₃，这些分组后的哈密顿圈构成的K₁₉的子图与G或H同构。

同时，需要注意的是，两个奇数阶完全图的三角化笛卡尔积与两个奇数阶有向正则完全有向图的三角化笛卡尔积的基础图相同。并且，两个有向圈的三角化笛卡尔积可以表示为：$\overrightarrow{C_m} \boxtimes \overrightarrow{C_n} \cong C_m \boxtimes C_n = C_m□C_n \oplus dE(C_m \boxtimes C_n)$，其中$C_m \boxtimes C_n$是$\overrightarrow{C_m} \boxtimes \overrightarrow{C_n}$的基础图。

（二）P3 - 分解引理

以下是一系列关于P3 - 分解的引理：
|引理编号|条件|结论|
| ---- | ---- | ---- |
|引理6|$m \equiv 9 (\bmod 12)$且$n = |V(G)| \equiv 17(\b