87、仙人掌图上的连通 p - 中心问题

仙人掌图上的连通 p - 中心问题

1. 符号与基本性质

设 $G = (V, E)$ 是一个简单的仙人掌图，其中每个顶点 $v \in V$ 关联一个单位权重 $w(v) = 1$，每条边 $e \in E$ 关联一个长度 $l(e) > 0$。用 $P[u, v]$ 表示图 $G$ 中从 $u$ 到 $v$ 的最短路径，其中 $u, v \in V$。

为了便于概述仙人掌网络中中心问题的算法，我们从仙人掌网络的树结构开始。顶点集 $V$ 被划分为三个不同的子集：C - 顶点、G - 顶点和铰链。

仙人掌图由块组成，这些块要么是一个环，要么是一个嫁接。因此，我们可以用树 $T_G$ 来表示图 $G$ 的骨架，其中 $T_G$ 中的每个元素代表图 $G$ 的一个块或一个铰链。

为了使树 $T_G$ 符合使用要求，我们将其转换为有根树：任选一个块，例如 $B_0$，作为 $T_G$ 的“根”。对于 $T_G$ 中的每个块 $B$，我们将 $B$ 的层级 $Lev(B)$ 定义为 $P[B, B_0]$ 上的边数。记 $L = \max_{B\in T_G}{Lev(B)}$。如果存在，块 $B$ 的父节点总是一个铰链 $h$，称为其伴随铰链。为简单起见，我们在 $B_0$ 中任选一个顶点 $h_0$ 作为 $B_0$ 的虚拟伴随铰链。用 $B_h$ 表示伴随铰链为 $h$ 的块。

对于 $T_G$ 中的每个块 $B_h$，用 $G_h$ 表示由 $B_h$ 的顶点以及从 $B_h$ 悬挂的所有子仙人掌图所诱导的 $G$ 的子仙人掌图。特别地，$G = G_{h_0}$。对于 $G_{h_0}$ 的每个铰链 $h$，用 $g_h$ 表示