算法与数据结构综合解析

1、编写一个程序来解决单词谜题问题。

有两种直接的算法可解决单词谜题问题：

1. 对单词列表中的每个单词，检查每个有序三元组（行、列、方向）是否存在该单词；
2. 对每个不会超出谜题边界的有序四元组（行、列、方向、字符数），测试所指示的单词是否在单词列表中。

可按以下步骤编写程序：

1. 实现上述两种算法中的任意一种来解决问题。
2. 若已知任何单词的最大字符数，可节省一些时间。
3. 若要提高速度，可存储每个单词及其所有前缀，当在特定方向扫描时，若查找的单词甚至不是哈希表中的前缀，则可提前终止该方向的扫描。
4. 若想进一步加速，可调整哈希函数，利用之前的计算结果。
5. 可将使用前缀的思想融入二分搜索算法，并比较不同算法的速度。

2、编写一个递归函数，返回 N 的二进制表示中 1 的个数。利用这样一个事实：如果 N 是奇数，那么 N 的二进制表示中 1 的个数等于 N/2 的二进制表示中 1 的个数加 1。

以下是一个满足要求的递归函数的 Python 示例代码：

def count_ones_in_binary(N):
    if N == 0:
        return 0
    elif N % 2 == 1:
        return count_ones_in_binary(N // 2) + 1
    else:
        return count_ones_in_binary(N // 2)

在上述代码中，定义了函数 count_ones_in_binary ，它接收一个整数 N 作为参数。当 N 为 0 时，直接返回 0；当 N 为奇数时，递归调用函数并加 1；当 N 为偶数时，直接递归调用函数。

3、计算以下求和式的值：a. ∑∞i=0 1/4i b. ∑∞i=0 i/4i ⋆c. ∑∞i=0 i2/4i ⋆⋆d. ∑∞i=0 iN/4i

a. 对于 $\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{4^i}$，这是一个几何级数，其中 $A = \frac{1}{4}$，根据几何级数公式 $\sum_{i=0}^{\infty} A^i = \frac{1}{1 - A}$，可得
$$
\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{4^i} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}.
$$

b. 设 $S = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{i}{4^i} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4^2} + \frac{3}{4^3} + \cdots$，则
$