51、固定 - 移动二部图的平面绘制问题研究

固定 - 移动二部图的平面绘制问题研究

在图论和图绘制领域，固定 - 移动二部图（FM - bigraph）的平面绘制问题是一个具有重要研究价值的课题。本文将深入探讨该问题的相关特性、复杂度以及求解算法。

1. 相关问题背景

在图绘制中，有几个与之相关的问题值得关注：
- 部分绘制扩展问题 ：将一个（不一定是二部图）平面图形的部分绘制扩展为完整的平面直线绘制。一般情况下，这个问题是 NP 难的，但在某些特定限制条件下是多项式时间可解的。
- 点集嵌入问题 ：需要将一个具有 n 个顶点的平面图形平面映射到给定的 n 个点集上，可能存在或不存在顶点与点之间的预定义对应关系。研究表明，任何 n 顶点的平面 FM - 二部图都可以实现具有 k = O(n) 个弯曲的绘制。
- 二部图的约束绘制问题 ：例如 Misue 提出的模型，将二部图的一部分顶点（称为锚点）均匀分布在一个圆上。后续还有对 3D 空间和半二部图的扩展研究，以及让二部图的每个分区集的顶点位于一条直线或特定平面区域内的研究，不过在这些场景中，顶点通常没有预定义的位置。

2. 符号表示

我们用一对 ⟨G, φ⟩ 来表示一个 FM - 二部图，其中 G = (Vf, Vm, E) 是一个二部图，φ : Vf → R² 是一个函数，它将每个固定顶点 v ∈ Vf 映射到一个不同的点 pv = φ(v)。⟨G, φ⟩ 的 k - 弯曲绘制是指 G 的一种 k - 弯曲绘制，使得每个固定顶点 v ∈ Vf 都被映射到 φ(v)。为了研究计算平面 FM - 二部图弯曲数