抽象代数学习笔记（8）循环群

最新推荐文章于 2024-10-30 23:34:22 发布
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本文探讨了循环群的概念，特别是有限循环群和无限循环群的结构。通过举例说明了如何由一个生成元形成循环群，并指出在循环群中，生成元素的不同幂次可能构成整个群。还讨论了循环群的分类及其性质，包括阶数在循环群中的作用。

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在讲子群的时候，我们提出了生成子群的概念 <S><S><S>，特别的，如果 S={ s}，有<S>=<s>S=\{s\}，有<S>=<s>S={ s}，有<S>=<s>。根据这些，我们可以引出循环群的概念：

群GGG称为循环群，如果有 g∈Gg\in Gg∈G使得G=<g>G=<g>G=<g>。

其实之间说过的旋转变换就可以以循环群的形式出现。比如：
g=[cos120sin120−sin120cos120]g=\begin{bmatrix} cos 120 & sin 120 \\ -sin 120 & cos 120 \end{bmatrix}\quadg=[cos120−sin120​sin120cos120​]
这样 g,g2,g3g,g^2,g^3g,g2,g

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