28、LLL算法在丢番图逼近与相关问题中的应用

LLL算法在丢番图逼近与相关问题中的应用

1. p - 进数版本

在处理p - 进数时，我们有与阿基米德情形几乎直接对应的情况。设 (x_1,\cdots,x_n) 属于 (\mathbb{Z} p^r)，若 (x_i) 属于 (\mathbb{Q}_p^r)，则需先消除分母再进行后续操作。我们固定一个整数 (\ell)，对于 (x\in\mathbb{Z}_p)，用 (\tau {\ell}(x)) 表示 (x\bmod p^{\ell}) 在集合 ({0,\cdots,p^{\ell}-1}) 中的代表元。

定义 ((n + r)\times(n + r)) 矩阵 (M_{\ell,C_1,C_2}(x_1,\cdots,x_n)) 如下：
[
M_{\ell,C_1,C_2}(x_1,\cdots,x_n)=\begin{pmatrix}
C_1&0&\cdots&0&0&\cdots&0\
0&C_1&\cdots&0&0&\cdots&0\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\
0&0&\cdots&C_1&0&\cdots&0\
C_2\tau_{\ell}(x_{11})&C_2\tau_{\ell}(x_{12})&\cdots&C_2\tau_{\ell}(x_{1n})&C_2p^{\ell}&\cd