19、格基规约算法的进展与优化

格基规约算法的进展与优化

1. 半块 2k - 规约与原 - 对偶随机采样规约

在格基规约领域，半块 2k - 规约和原 - 对偶随机采样规约（RSR）是重要的研究方向。

1.1 半块 2k - 规约

在广义 Schnorr 假设（GSA）下，对于任意 HKZ - 约化的 GNF 矩阵 (R = R_{1,2} \in \mathbb{R}^{2k\times 2k})，有 (1/q \leq \gamma_{2k - 1}^{2k}) 成立。由此可得推论，半块 2k - 约化基在 GSA 下满足定理 1 的不等式，其中 (\alpha) 被 (\gamma_{2k - 1}^{2k}) 替换。

以 (k = 24) 为例，假设已知的 48 维最密格填充 (P_{48p}, P_{48q}) 接近最大密度，(\gamma_{24} = 4)，(\gamma_{48} \approx 6.01)。通过定理 6 可证明 ( |b_1|^2/(\det L)^{2/n} \leq \gamma_{24}(\beta_{24}/\delta)^{n/48 - 1/2} < \gamma_{24} 1.165^{n/2})，且在 GSA 下，(|b_1|^2/(\det L)^{2/n} \leq \gamma_{48}^{1/47(n - 1)/2})，这将定理 1 中的 (\alpha) 替换为 (\gamma_{48}^{1/47} < 1.039)。

对于块大小为 48 的原 - 对偶基，由定理 7 可知，(|b_1|^2/(\det L)^{2/n} < \gamma_{48}(\alpha\gamma_{48}^2)