69、整数上短公钥全同态加密及环LWE全同态加密

整数上短公钥全同态加密及环LWE全同态加密

整数上短公钥全同态加密

在整数上实现全同态加密时，面临着诸多挑战，如寻找最短向量的近似问题以及应对各种攻击等。

1. 最短向量近似问题
   在维度为 (t) 的情况下，若要在短时间内找到最短向量的 (\mu^{t/k}) 近似是极为困难的，所需时间不少于 (2^k)。为了找到满足 (|u|_{\infty} \leq 2^{\eta - \rho}) 的向量 (u)，我们需要比 (2^{\eta - \rho}) 更好的最短向量近似。当 (t > \gamma / \eta) 时，要得到 (2^{\eta}) 近似（虽不足以恢复 (u)），所需时间至少为 (2^k)，其中 (k = (\log_2 \mu) \gamma / \eta^2)，由此可得到渐近条件 (\gamma = \eta^2 \cdot \omega(\log \lambda))。为获取具体参数，可使用 LLL 和 BKZ - 20 格基规约算法进行实验。

2. 稀疏子集和问题的格攻击
   攻击者需解决方程 (\sum_{i = 1}^{\Theta} s_i \cdot u_i = xp \mod 2^{\kappa})，其中 (s = (s_1, \ldots, s_{\Theta})) 的汉明重量 (\theta) 较小。格攻击会产生一个行列式 (det L \approx 2^{\Theta + \kappa} \approx 2^{\Theta + \gamma}) 的格 (L)，该格有一个范数约为 (\sqrt{\Theta}) 的