27、节点扩展下保持三连通分量

节点扩展下保持三连通分量

1. 引言

SPQR树是一种用于表示图在分离对上分解的数据结构，分离对指的是移除后会使图断开的顶点对，分解得到的组件称为骨架。SPQR树在许多图可视化技术中是核心组件，可用于平面性测试、计算嵌入和布局等。最初，Di Battista和Tamassia为增量平面性测试设计了SPQR树，随后其应用扩展到其他在线问题和全动态场景，能在$O(\sqrt{n})$时间内插入和删除顶点及边（$n$为图的顶点数）。

本文考虑一种增量场景，允许将单个顶点$v$扩展为任意双连通图$G_ν$。Eppstein等人的方法需要$O((deg(v)+|G_ν|)·\sqrt{n})$时间，且仅表示三连通分量的部分。本文将其改进为$O(deg(v)+|G_ν|)$，使用的算法更简单，能明确得到完整的三连通分量。此外，还能高效合并两个SPQR树：给定两个双连通图$G_1$、$G_2$，分别包含顶点$v_1$、$v_2$，以及它们关联边之间的双射，通过用$G_2 - v_2$替换$G_1$中的$v_1$并根据双射识别边，可在$O(deg(v_1))$时间内找到新图$G$的SPQR树。

具体来说，本文提出的数据结构支持以下操作：
- InsertGraphSPQR：以扩展子图大小的线性时间扩展单个顶点。
- MergeSPQR：以被替换顶点度数的线性时间合并两个SPQR树。
- IsPlanar：在常数时间内指示当前表示的图是否为平面。
- Rotation：在常数时间内得到三连通骨架中顶点的两种可能平面旋转之一。

该数据结构还可调整为为所有三连通骨架生成一致的平面嵌入，并测试任意两个顶点之间是否存在三条不同路径，所有操作额外有