9、图论与优化问题的相关研究及求解方案

图论与优化问题的相关研究及求解方案

图的Steiner径向数定理

对于任意满足 (2 ≤ n ≤ p) 的整数对 (n) 和 (p)，存在一个具有 (p) 个顶点的图，其Steiner径向数为 (n)。以下是不同顶点数情况下的证明：
- 当 (p = 2) 时，结果显然。
- 当 (p = 3) 时，3 个顶点的连通图只有 (P_3) 和 (K_3)，其中 (r_S(P_3) = 3)，(r_S(K_3) = 2)。
- 当 (p = 4) 时，(r_S(K_4) = 2)，(r_S(C_4) = 3)，(r_S(P_4) = 4)。
- 当 (p ≥ 5) 时，根据命题 15，(r_S(W_p) = 3)。同时，(r_S(K_p) = 2)，对于树 (T)，(r_S(T) = m + 2)，其中 (m) 是 (T) 中悬挂顶点的数量，且 (2 ≤ m ≤ p - 2)。

该定理可以用以下mermaid流程图表示：

graph TD;
    A[p的取值] --> B{p = 2};
    B -- 是 --> C[结果显然];
    B -- 否 --> D{p = 3};
    D -- 是 --> E[rS(P3) = 3, rS(K3) = 2];
    D -- 否 --> F{p = 4};
    F -- 是 --> G[rS(K4) = 2, rS(C4) = 3, rS(P4) = 4];
    F -- 否 --> H{p ≥ 5};
    H -- 是 --> I[rS(Wp) = 3, rS