2、图论与秘密共享方案中的信息率研究

图论与秘密共享方案中的信息率研究

1. 图论基础术语

在图论中，我们先明确一些基础术语。通常所讨论的图不包含环和多重边，若图存在多重边，则称其为多重图。对于图 (G)，用 (V(G)) 表示其顶点集，(E(G)) 表示边集，这里仅考虑无向图，在无向图中，代表任意边的顶点对是无序的，例如 ((u, v)) 和 ((v, u)) 表示同一条边。为简化表示，常用边集 (E(G)) 来描述图 (G)，且每条边 ((u, v) \in E(G)) 可表示为 (uv)。若图中任意两个顶点都由一条路径相连，则称该图是连通的。

下面介绍一些特殊的图：
- 完全图 ：具有 (n) 个顶点的完全图，任意两个顶点之间都有一条边相连。
- 完全多部图 ：完全多部图 (K_{n_1,n_2,\cdots,n_t}) 有 (\sum_{i = 1}^{t} n_i) 个顶点，其顶点集被划分为大小为 (n_i)（(1 \leq i \leq t)）的子集，称为部分，当且仅当两个顶点位于不同部分时，它们之间存在一条边。也可以说，完全多部图的补图是不相交的团的并集，完全图 (K_n) 可看作是 (n) 个大小为 1 的部分的完全多部图。

此外，还有一些重要的概念：
- 稳定集（独立集） ：图 (G) 的稳定集是顶点集 (V(G)) 的一个子集 (A)，使得 (A) 中任意两个顶点在 (E(G)) 中都没有边相连。图 (G) 的稳定数（独立数）(\alpha(G)) 定义为 (G) 的稳定集的最大基数。
- 顶点覆盖 ：图 (G) 的顶点覆盖是顶点集 (V(G)) 的一个子集 (A)，使得 (E(G)) 中的每条边都至少与 (A) 中的一个顶点相关联。图 (G) 的顶点覆盖数 (\beta(G)) 定义为 (G) 的顶点覆盖的最小基数。
- 围长 ：图 (G) 的围长定义为 (G) 中最小循环的长度，若 (G) 是无环图，则围长定义为 (\infty)。
- 正则图 ：正则图是指每个顶点的度数都为固定值 (d) 的图。

2. 秘密共享方案相关概念

使用符号 (PS(G, \rho, q)) 表示具有访问结构 (cl(E(G))) 和信息率 (\rho) 的一组 (q) 个密钥的完美秘密共享方案。类似地，具有访问结构 (cl(E(G))) 和平均信息率 (\overline{\rho}) 的一组 (q) 个密钥的完美秘密共享方案表示为 (Z(G, \overline{\rho}, q))。在本文中，主要关注连通图，若图不连通，只需为其每个连通分量找到相应的方案即可。

以下是一些相关定理：
- 定理 2.1 ：设图 (G) 的连通分量为 (G_i)（(1 \leq i \leq t)），若存在 (PS(G_i, \rho, q))（(1 \leq i \leq t)），则存在 (PS(G, \rho, q))；类似地，若存在 (Z(G_i, \overline{\rho}, q))（(1 \leq i \leq t)），则存在 (Z(G, \overline{\rho}, q))。
- 定理 2.2 ：对于连通图 (G)，存在 (PS(G, 1, q))（等价于 (Z(G, 1, q))）当且仅当 (G) 是完全多部图。
- 推论 2.3 ：若 (q \geq t) 是素数幂，则存在 (PS(K_{n_1,n_2,\cdots,n_t}, 1, q))。证明过程中，设 (V_1, \cdots, V_t) 是图 (K_{n_1,n_2,\cdots,n_t}) 的部分，(x_1, \cdots, x_t) 是 (GF(q)) 中的不同元素，构造一个具有 (q^2) 行和 (1 + \sum_{i = 1}^{t} n_i) 列的矩阵 (M)，其行由 (GF(q) \times GF(q)) 索引，列由 ({D} \cup V_1 \cup \cdots \cup V_t) 索引，矩阵元素按如下规则定义：
- (M((a, b), D) = a)
- (M((a, b), u) = ax_i + b)，其中 (a, b \in GF(q)) 且 (u \in V_i)。

若从完全图 (K_t) 开始，上述构造的矩阵 (M) 是组合设计理论中称为正交阵列 (OA(t + 1, q)) 的结构。

还有两个基本结果：
- 定理 2.4 ：若存在 (PS(G, \rho, q))，则对于任意正整数 (n)，存在 (PS(G, \rho, q^n))；类似地，若存在 (Z(G, \overline{\rho}, q))，则对于任意正整数 (n)，存在 (Z(G, \overline{\rho}, q^n))。
- 定理 2.5 ：设 (G) 是图，(G_1) 是 (G) 的诱导子图，若存在 (PS(G, \rho, q))，则存在 (PS(G_1, \rho, q))，但该定理对于平均信息率不成立。

另外，有一个关于访问结构的定理：
- 定理 2.13 ：设 (A) 是一个访问结构，若存在四个参与者 (A, B, C, D)，使得 ({A, B}, {B, C}, {C, D} \in A) 但 ({A, C}, {A, D} \notin A)，则任何针对 (A) 的秘密共享方案都满足 (\log s_B + \log s_C \geq 3 \log q)。满足该定理假设的访问结构的例子有长度为三的路径 (P_3) 的闭包（边集为 ({AB, BC, CD})）和图 (H)（边集为 ({AB, BC, CD, BD})），定理 2.6 将是证明路径、循环和一般图的信息率和平均信息率上界的主要工具。

3. 图分解构造

• 完全多部覆盖（CMC） ：设图 (G) 以及 (G_1, \cdots, G_n) 是 (G) 的子图，若 (G) 的每条边至少出现在其中一个 (G_i) 中，且每个 (G_i) 都是完全多部图，则称 (\Pi = {G_1, \cdots, G_n}) 是 (G) 的完全多部覆盖（CMC）。
• 定理 3.1（CMC 构造） ：设图 (G) 具有完全多部覆盖 (\Pi = {G_1, \cdots, G_n})，对于 (1 \leq i \leq n)，用 (t_i) 表示 (G_i) 的部分数，令 (t = \max{t_i : 1 \leq i \leq n})。对于每个顶点 (u)，定义 (R_u = |{i : u \in G_i}| )，(R = \max{R_u : u \in V(G)})，(\rho = 1/R)，(\overline{\rho} = |V(G)| / \sum_{u \in V(G)} R_u)，则对于任何素数幂 (q \geq t)，存在 (PS(G, \rho, q)) 和 (Z(G, \overline{\rho}, q))。
  • 证明步骤 ：
    1. 令 (q \geq t)，对于 (1 \leq i \leq n)，由推论 2.3 可知存在表示 (PS(G_i, 1, q)) 的矩阵 (M_i)。
    2. 设 (K) 表示一组 (q) 个密钥，(S) 表示一组 (q) 个共享（假设所有方案的共享集相同）。
    3. 定义矩阵 (M)：对于每个密钥 (K) 和每个 (n) 元组的行 ((r_i : 1 \leq i \leq n))，其中 (r_i) 是 (M_i) 的行（(1 \leq i \leq n)）且 (M_i(r_i, D) = K)（(1 \leq i \leq n)），按如下规则定义 (M) 的行 ((r_i : 1 \leq i \leq n))：
       • (M((r_1, r_2, \cdots, r_n), u) = (M_i(r_i, u) : u \in V(G_i)))
       • (M((r_1, r_2, \cdots, r_n), D) = K)

实际上，在实现时不需要真正构造矩阵 (M)。当 (D) 想要共享一个秘密 (K) 时，他只需为每个 (i)（(1 \leq i \leq n)）选择 (M_i) 的一个随机行 (r_i)，使得 (M_i(r_i, D) = K)，然后对于 (1 \leq i \leq n) 和每个 (u \in G_i)，(D) 将 (M_i(r_i, u)) 给参与者 (u)，这样每个参与者 (u) 会得到与包含 (u) 的每个 (G_i) 对应的一个共享。

• 定理 3.2（多重 CMC 构造） ：设图 (G) 对于 (1 \leq j \leq l) 有完全多部覆盖 (\Pi_j = {G_{j1}, \cdots, G_{jn_j}})，用 (t_{ji}) 表示 (G_{ji}) 的部分数，定义 (t = \max{t_{ji} : 1 \leq j \leq l, 1 \leq i \leq n_j})。对于每个顶点 (u) 和 (1 \leq j \leq l)，定义 (R_{ju} = |{i : u \in G_{ji}}| )，(R_u = \sum_{j = 1}^{l} R_{ju})，(R = \max{R_u : u \in V(G)})，(\rho = l/R)，则对于任何素数幂 (q \geq t)，存在 (PS(G, \rho, q^l))。
  • 证明思路 ：对 (l) 个密钥中的每个密钥独立执行定理 3.1 的构造。

下面通过两个例子说明：
- 例 3.1 ：长度为三的路径 (P_3) 边集为 ({AB, BC, CD})，使用一个 CMC 时，访问结构 (cl(E(P_3))) 能获得的最佳信息率是 (1/2)，但使用两个 CMC（({AB, BC}) 和 ({BC, CD})），可得到 (\rho = 2/3)，此时 (R_1 = R_4 = 2)，(R_2 = R_3 = 3)，(R = 3)，能构造 (PS(P_3, 2/3, 4))，且这两个 CMC 中的任何一个都能得到平均信息率 (\overline{\rho} = 4/5)。
- 例 3.2 ：图 (H) 边集为 ({AB, BC, CD, BD})，通过两个 CMC（({{AB}, {BC, BD, CD}}) 和 ({{AB, BC, BD}, {CD}})）可构造 (PS(H, 2/3, 9))。实现该方案时，取 (E_c = GF(3) \times GF(3))，经销商从 (GF(3)) 中独立选择四个随机元素 (b_{11}, b_{12}, b_{21}, b_{22})，对于密钥 ((K_1, K_2))，各参与者接收的共享如下：
- 参与者 (A) 接收 ((b_{11} + K_1, b_{21} + K_2))
- 参与者 (B) 接收 ((b_{11}, b_{12}, b_{21}))
- 参与者 (C) 接收 ((b_{12} + K_1, b_{21} + K_2, b_{22}))
- 参与者 (D) 接收 ((b_{12} + 2K_1, b_{21} + K_2, b_{22} + K_2))

其中，第一个 CMC 得到平均信息率 (\overline{\rho} = 4/5)，第二个 CMC 得到 (\overline{\rho} = 2/3)。

下面用 mermaid 流程图展示 CMC 构造的主要步骤：

graph TD;
    A[开始] --> B[确定图G和其CMC];
    B --> C[计算t, R_u, R, ρ, ρ'];
    C --> D[选择素数幂q >= t];
    D --> E[构造矩阵M];
    E --> F[生成PS(G, ρ, q)和Z(G, ρ', q)];
    F --> G[结束];

4. 最优信息率

• 定义 ：对于正整数 (q) 和图 (G)，定义 (\rho^ (G, q) = \max{\rho : \exists PS(G, \rho, q_0), q_0 \leq q})，然后定义 (\rho^ (G) = \lim_{q \to \infty} \rho^ (G, q))，该极限存在且至多为 1。需要注意的是，定义并不要求对于任何整数 (q) 都存在 (PS(G, \rho^ (G), q))，但在已知 (\rho^*(G)) 值的所有情况下，实际上都能构造出具有该信息率的方案。
• 定理 4.1 ：设 (P_3) 是边集为 ({AB, BC, CD}) 的图，(H) 是边集为 ({AB, BC, CD, BD}) 的图，则 (\rho^ (P_3) = 2/3) 且 (\rho^ (H) = 2/3)。
• 定理 4.2 ：若连通图 (G) 不是完全多部图，则 (\rho^*(G) \leq 2/3)。
  • 证明思路 ：
    1. 设 (G^C) 是 (G) 的补图，因为 (G) 不是完全多部图，所以存在三个顶点 (x, y, z) 使得 (xy, yz \in E(G^C)) 且 (xz \in E(G))。
    2. 由于 (G) 是连通的，存在顶点 (w) 使得 (wy \in E(G))。
    3. 分情况讨论：若 ({wx, wy} \cap E(G) \neq \varnothing)，则 (G[w, x, y, z]) 同构于 (P_3) 或 (H)；若 (wx, wz \in E(G^C))，定义 (d = \min{d_G(y, x), d_G(y, z), d_G(w, x), d_G(w, z)})，通过一系列推理可知 (G[y_{d - 1}, y_d, x, z]) 同构于 (P_3) 或 (H)，再根据定理 2.5 得出结论。

因此，(\rho^ (G) = 1) 当且仅当 (G) 是完全多部图；(\rho^ (G) \leq 2/3) 当且仅当 (G) 不是完全多部图，这表明 (\rho^*(G)) 的可能值存在“间隙”。

4.1 线性规划问题

• 定义 ：我们关注通过应用多重 CMC 构造能获得的最佳可能信息率，定义 (\rho_{\Pi}(G)) 表示图 (G) 的该最优率。根据构造性质，对于所有足够大的素数幂 (q)，能构造 (PS(G, \rho_{\Pi}(G), q))，且 (\rho_{\Pi}(G) \leq \rho^*(G))。
• 线性规划问题 (O(G)) ：
  • 目标 ：最小化 (R_0 = \max{\sum_{j = 1}^{L} a_j R_{ju} : u \in V(G)})
  • 约束条件 ：(a_j \geq 0)，(1 \leq j \leq L)；(\sum_{j = 1}^{L} a_j = 1)

其中 (L) 是 (G) 的最小 CMC 的完全枚举数量，对于每个顶点 (u) 和 (1 \leq j \leq L)，(R_{ju} = |{i : u \in G_{ji}}| )。

• 定理 4.3 ：设 (R^ ) 是 (O(G)) 的最优解，则 (\rho_{\Pi}(G) = 1/R^ )。
  • 证明思路 ：
    • 正向：若 (R^ = \max{\sum_{j = 1}^{L} a_j R_{ju} : u \in V(G)})，其中 (a_j) 满足 (O(G)) 的约束条件，可知 (a_j) 是有理数，设 (a_j = b_j / c_j)，取 (C a_j) 个 (\Pi_j) 的副本并应用多重 CMC 构造，得到信息率为 (1/R^ ) 的方案，所以 (\rho_{\Pi}(G) \geq 1/R^*)。
    • 反向：若从应用多重 CMC 构造得到信息率 (\rho_{\Pi}(G)) 的方案开始，不妨假设仅使用最小 CMC，设 (\Pi_j) 有 (b_j) 个副本，(B = \sum_{j = 1}^{L} b_j)，(a_j = b_j / B)，则 ((a_1, \cdots, a_L)) 满足 (O(G)) 的约束条件且 (R_0 = 1/\rho_{\Pi}(G))，所以 (\rho_{\Pi}(G) \leq 1/R^*)。

由于 (O(G)) 的目标函数是多个线性函数的最大值，可得到一个“等价”的线性规划问题 (O’(G))，且 (O(G)) 和 (O’(G)) 有相同的最优解。
- 定理 4.4 ：设 (T^ ) 是 (O’(G)) 的最优解，则 (\rho_{\Pi}(G) = 1/T^ )。

4.2 路径和循环的信息率

• 定义 ：用 (P_n) 表示长度为 (n) 的路径（边集为 ({X_1X_2, \cdots, X_nX_{n + 1}})），(C_n) 表示长度为 (n) 的循环（边集为 ({X_1X_2, \cdots, X_{n - 1}X_n, X_nX_1})）。
• 定理 4.5 ：若 (n \geq 3)，则 (\rho^*(P_n) = 2/3)。
  • 证明 ：
    • 由定理 4.2 可知，若 (n \geq 3)，(\rho^*(P_n) \leq 2/3)。
    • 当 (n + 1) 为偶数时，使用两个 CMC：
      • (\Pi_1 = {{X_1X_2, X_2X_3}, {X_3X_4, X_4X_5}, \cdots, {X_{n - 1}X_n, X_nX_{n + 1}}})
      • (\Pi_2 = {{X_1X_2}, {X_2X_3, X_3X_4}, \cdots, {X_{n - 2}X_{n - 1}, X_{n - 1}X_n}, {X_nX_{n + 1}}})
        可得到 (\rho^*(P_n) \geq 2/3)。
    • 当 (n + 1) 为奇数时，使用两个 CMC：
      • (\Pi_3 = {{X_1X_2, X_2X_3}, {X_3X_4, X_4X_5}, \cdots, {X_{n - 2}X_{n - 1}, X_{n - 1}X_n}, {X_3X_{n + 1}}})
      • (\Pi_4 = {{X_1X_2}, {X_2X_3, X_3X_4}, \cdots, {X_{n - 1}X_n, X_nX_{n + 1}}})
        同样可得到 (\rho^*(P_n) \geq 2/3)。

综上所述，本文围绕图论和秘密共享方案中的信息率展开了深入研究，从基础术语到各种构造方法和最优信息率的求解，为相关领域的研究和实践提供了重要的理论支持和方法指导。通过对不同类型图的分析，明确了信息率的相关性质和计算方法，有助于在实际应用中设计更高效的秘密共享方案。

图论与秘密共享方案中的信息率研究

5. 总结与展望

在前面的章节中，我们系统地研究了图论与秘密共享方案中的信息率问题，从图论的基础术语出发，逐步深入到秘密共享方案的构造和信息率的优化。以下是对本文主要内容的总结：

5.1 主要内容总结

• 图论基础 ：明确了图的基本概念，如完全图、完全多部图、稳定集、顶点覆盖、围长和正则图等，这些概念是后续研究的基础。
• 秘密共享方案 ：定义了完美秘密共享方案的表示方法 (PS(G, \rho, q)) 和 (Z(G, \overline{\rho}, q))，并介绍了相关定理，如连通图存在理想方案的条件（定理 2.2），以及信息率和平均信息率在子图和图的连通分量上的性质。
• 图分解构造 ：提出了完全多部覆盖（CMC）和多重 CMC 构造方法，通过这些方法可以构造出具有一定信息率的秘密共享方案，并通过具体例子展示了如何应用这些构造方法来提高信息率。
• 最优信息率 ：定义了图的最优信息率 (\rho^*(G))，并证明了对于非完全多部图，其最优信息率不超过 (2/3)。同时，通过线性规划问题求解多重 CMC 构造能获得的最优信息率 (\rho_{\Pi}(G))。
• 路径和循环的信息率 ：证明了长度 (n \geq 3) 的路径 (P_n) 的最优信息率为 (2/3)。

5.2 研究成果的意义

这些研究成果在理论和实践上都具有重要意义。在理论方面，明确了图的结构与秘密共享方案信息率之间的关系，为进一步研究秘密共享方案的性质和优化提供了理论基础。在实践方面，通过图分解构造方法可以设计出更高效的秘密共享方案，提高信息传输和存储的安全性和效率。

5.3 未来研究方向

尽管本文取得了一定的研究成果，但仍有许多问题值得进一步探讨：
- 更复杂图的信息率研究 ：本文主要研究了路径、循环等简单图的信息率，对于更复杂的图，如树、网格图等，其信息率的计算和优化方法还需要进一步研究。
- 平均信息率的深入研究 ：虽然本文对平均信息率进行了一定的讨论，但对于平均信息率的性质和优化方法还不够完善，需要进一步探索。
- 应用场景的拓展 ：秘密共享方案在实际应用中有着广泛的需求，如云计算、物联网等领域，如何将本文的研究成果应用到这些实际场景中，提高系统的安全性和效率，是未来研究的一个重要方向。

6. 相关概念对比表格

为了更好地理解本文中涉及的各种概念和方法，下面给出一个相关概念的对比表格：

概念	定义	相关定理或构造方法	应用场景
完全图 (K_n)	具有 (n) 个顶点，任意两个顶点之间都有一条边相连的图	-	信息对称的网络结构建模
完全多部图 (K_{n_1,n_2,\cdots,n_t})	顶点集被划分为 (t) 个部分，不同部分的顶点之间有边相连的图	定理 2.2：存在 (PS(G, 1, q)) 当且仅当 (G) 是完全多部图；推论 2.3：若 (q \geq t) 是素数幂，则存在 (PS(K_{n_1,n_2,\cdots,n_t}, 1, q))	多组用户之间的信息共享
稳定集（独立集）	图中任意两个顶点都没有边相连的顶点子集	稳定数 (\alpha(G)) 用于衡量图的独立性	资源分配、冲突避免
顶点覆盖	图中每条边都至少与一个顶点相关联的顶点子集	顶点覆盖数 (\beta(G)) 用于衡量图的覆盖能力	传感器网络的节点部署
围长	图中最小循环的长度	-	图的结构分析
正则图	每个顶点的度数都为固定值 (d) 的图	-	规则网络结构建模
完全多部覆盖（CMC）	图 (G) 的子图集合，每个子图都是完全多部图，且 (G) 的每条边至少出现在其中一个子图中	定理 3.1：通过 CMC 构造 (PS(G, \rho, q)) 和 (Z(G, \overline{\rho}, q))	秘密共享方案的构造
多重 CMC 构造	使用多个完全多部覆盖来构造秘密共享方案	定理 3.2：通过多重 CMC 构造 (PS(G, \rho, q^l))	提高秘密共享方案的信息率
最优信息率 (\rho^*(G))	(\rho^*(G) = \lim_{q \to \infty} \max{\rho : \exists PS(G, \rho, q_0), q_0 \leq q})	定理 4.2：非完全多部图的 (\rho^*(G) \leq 2/3)	评估秘密共享方案的性能上限
多重 CMC 构造的最优信息率 (\rho_{\Pi}(G))	通过线性规划问题求解	定理 4.3 和定理 4.4：通过线性规划问题 (O(G)) 和 (O’(G)) 求解 (\rho_{\Pi}(G))	优化多重 CMC 构造的信息率

7. 研究流程回顾流程图

graph LR;
    A[图论基础术语] --> B[秘密共享方案定义];
    B --> C[图分解构造];
    C --> D[最优信息率研究];
    D --> E[路径和循环的信息率];
    E --> F[总结与展望];

这个流程图展示了本文的研究流程，从图论基础术语开始，逐步深入到秘密共享方案的构造和信息率的优化，最后进行总结和展望。

通过本文的研究，我们对图论与秘密共享方案中的信息率问题有了更深入的理解，为未来的研究和实践提供了有价值的参考。希望本文的研究成果能为相关领域的发展做出贡献，同时也期待更多的研究者加入到这个领域的研究中来，共同推动秘密共享方案的发展和应用。