30、近似求解功率节点删除问题

近似求解功率节点删除问题

1. 定理基础与子模集覆盖公式化

1.1 定理 1

算法 PD 能为 (N, f, c) 计算一个 SSC 解，其近似因子为 $\max \left{\frac{\sum_{j\in X} f_S({j})}{f_S(N - S)}\right}$，这里的 $\max$ 是对任意 $S \subseteq N$ 和任意 $(N - S, f_S)$ 的最小解 $X$ 取的。

1.2 子模集覆盖公式化

考虑将 PND(π) 归约为 SSC。对于顶点 $u$，设 $W_u = {w(u, v) | {u, v} \in \delta(u)}$ 是从顶点 $u$ 出发的边的权重集合。对于 PND(π) 的任意解 $p \in R^V$，不妨假设 $p(u) \in W_u \cup {0}$，因为给 $p(u)$ 赋其他值会产生冗余。

定义 $\delta_w(u, v) \subseteq \delta(u)$ 为与 $u$ 关联且 $(u, x)$ - 权重 $w(u, x)$ 不大于 $w(u, v)$ 的边 ${u, x}$ 的集合，即 $\delta_w(u, v) = { {u, x} \in \delta(u) | w(u, x) \leq w(u, v)}$，并将 $\delta_w(u, v)$ 的权重 $w(\delta_w(u, v))$ 设为 $w(u, v)$。

命题 1：对于图 $G = (V, E)$ 和权重函数 $w : \overleftrightarrow{E} \to R$，设 $N = {\delta_w(u, v) | (u, v)