11、自适应观测器：直接与间接重新设计

自适应观测器：直接与间接重新设计

1. 基于库的自适应观测：促进稀疏性的自适应观测器

在自适应控制和观测中，通常会通过基函数 $\varphi$ 的线性组合来局部插值部分不确定性。在实际应用中，如何选择基函数集是一个关键问题。在从系统第一性原理推导的模型中，向量 $\theta$ 通常代表具有物理意义的未知参数，此时基函数是先验固定的且具有物理意义。然而，系统不确定性可能没有这种先验固定结构和合适的物理解释，这时常选择满足某种通用逼近性质的基函数集，如神经网络、再生核或小波等。但这些方法存在两个缺点：一是自适应动态可能具有较高的阶数和复杂度；二是难以对不确定性进行物理解释。

为解决这些限制，我们采用一种不同的方法。假设回归向量 $\varphi$ 未知，但对组成它的函数类型有一些先验信息，利用这些信息设计一个候选非线性函数库 $\Theta$ 来建模不确定性。理想情况下，自适应重新设计应只选择真实系统中出现的函数，从而实现低复杂度和可解释的不确定性插值。

考虑系统 $\dot{x} = f(x, u) + \Theta(x, u)\theta_s$，$y = h(x)$，其中 $\theta_s \in R^p$ 是未知参数向量，$n_{\theta}$ 个元素等于原始参数向量 $\theta$ 中的元素，$p - n_{\theta}$ 个元素为零。矩阵 $\Theta$ 被称为候选非线性函数库，其中列向量 $\varphi_w(x, u)$ 若不组成原始回归向量 $\varphi$ 则定义为非活动的，否则为活动的。参数向量 $\theta_s$ 中与非活动函数相关的元素为零，否则非零。

假设存在如下形式的观测器：
$\dot{\hat{x}} =