29、图论中的节点删除问题与子模集覆盖算法

图论中的节点删除问题与子模集覆盖算法

在图论的研究中，节点覆盖和节点删除问题一直是重要的研究方向。传统的顶点覆盖问题有其局限性，而功率顶点覆盖（PVC）问题则提供了更细化的模型。同时，将节点删除问题与“功率覆盖”条件相结合，并将其转化为子模集覆盖（SSC）问题，为解决这些问题提供了新的思路。

1. 顶点覆盖与功率顶点覆盖

• 顶点覆盖（VC）问题 ：给定一个无向图 (G=(V, E))，目标是找到一个最小的顶点子集 (C \subseteq V)，使得图中的每条边都至少有一个端点在 (C) 中。在加权版本中，每个顶点有一个权重，目标是最小化顶点覆盖的总权重。然而，传统的 VC 问题没有考虑到边的不同特性，即从一个顶点覆盖某些边可能比其他边更困难。
• 功率顶点覆盖（PVC）问题 ：PVC 是 VC 的推广，它为每条边 ({u, v} \in E) 分配两个权重 (w(u, v)) 和 (w(v, u))。要覆盖边 ({u, v})，需要在顶点上分配“功率” (p \in R^V)，使得要么 (p(u) \geq w(u, v))，要么 (p(v) \geq w(v, u))。目标是最小化所有顶点上分配的总功率 (\sum_{v \in V} p(v))。例如，在设置监控摄像头的场景中，PVC 模型允许使用低性能但成本较低的摄像头来覆盖部分道路段，而不是像传统 VC 模型那样使用一个能覆盖所有相邻道路段的高性能摄像头。
  Angel 等人证明了 PVC 在一般情况下可以在 2 倍的近似因子内求解，并且当图是二分图时可以多项式时间求解。对于 PVC 的参数化复杂度，也有不同的算法，如参数为总