57、超图匹配与子模划分函数宽度的计算性研究

超图匹配与子模划分函数宽度的计算性研究

1. 超图匹配算法

在超图匹配领域，有一个重要的算法——SDMatching 算法。它旨在解决超图中几乎完美匹配的问题。以下是该算法的详细介绍：
- 相关概念与性质
- 对于一个超图 (H)，存在一个强大匹配 (M’)，其大小满足 (|M’| \leq C’’ \log n)，其中 (C’’ = \frac{2C’}{c_{k - 2}^k})。寻找这个小的强大匹配的过程需要 (O(\log n \cdot n^{k^2 + 2k})) 步。
- 当从超图 (H) 中移除 (M’) 后，得到的超图 (H’) 仍然具有较大的度。具体来说，若 (\delta_{k - 1}(H) \geq \frac{n}{k} + C \log n)（其中 (C = kC’‘)），则 (\delta(H’) \geq \delta(H) - C’‘k \log n \geq \frac{n}{k} > \frac{|V(H’)|}{k})。
- SDMatching 算法步骤
1. 寻找强大匹配 ：使用相关方法找到一个强大匹配 (M’)（如定义 11 所述）。
2. 更新超图 ：令 (H’ := H - V(M’))，此时有 (\delta_{k - 1}(H’) \geq \frac{|V(H’)|}{k})。
3. 贪心匹配 ：在 (H’) 中使用 LDMatching 过程贪心找到一个 ([(k - 2)k + 1]) - 亏缺匹