21、单侧测试仿射子空间的研究与算法实现

单侧测试仿射子空间的研究与算法实现

1. 布尔函数性质测试简介

布尔函数性质测试是一个活跃的研究领域。设 $F$ 为有限域，布尔函数 $f: F^n \to {0, 1}$ 可用于描述不同类型的子空间。
- 仿射子空间相关函数类 ：
- 若 $f^{-1}(1) \subseteq F^n$ 是 $(n - d)$ 维仿射子空间，则称 $f$ 描述了 $(n - d)$ 维仿射子空间，这类函数记为 $d - AS$。$AS = \cup_k k - AS$，$(≤d) - AS = \cup_{k≤d} k - AS$。
- 若 $f^{-1}(1) \subseteq F^n$ 是轴平行的 $(n - d)$ 维仿射子空间，即存在 $d$ 个索引 $1 ≤ i_1 < i_2 < \cdots < i_d ≤ n$ 和常量 $\lambda_i \in F$，$i \in [d]$，使得 $f^{-1}(1) = {a \in F^n | a_{i_1} = \lambda_1, \cdots, a_{i_d} = \lambda_d}$，这类函数记为 $d - APAS$，类似定义 $APAS$ 和 $(≤d) - APAS$。
- 线性子空间相关函数类 ：若将上述定义中的“仿射子空间”替换为“线性子空间”，则得到 $d - LS$、$LS$、$(≤d) - LS$、$d - APLS$、$APLS$ 和 $(≤d) - APLS$ 等类。
- 相关布尔函数类 ：还有 $d - Monomial$（$d$ 个否定布尔变量的合取）、$Mo