15、图论中的最大流与动态着色问题研究

图论中的最大流与动态着色问题研究

1. 最大单源单汇流问题

在图论中，最大单源单汇流问题是一个经典的问题。为了解决这个问题，我们采用了部分实例化和边重加权的方法。

首先，我们需要进行向上部分实例化操作。从源点 (s) 开始，将 (T(s)) 及其所有祖先模板合并，使 (s) 留在根模板中。这个过程与实例化操作对参数化图模板的重写方式相同，只是顺序不同且提前停止，最终会创建一个同构的参数化图模板。每次迭代最多添加 (n) 个顶点和 (m) 条边，最多进行 (h) 次迭代。由此我们得出：从 (s) 进行向上部分实例化会产生一个同构的参数化图模板，该模板图中最多有 (h) 个额外模板，最多有 (O(nh)) 个顶点和 (O(mh)) 条边。

接下来，我们给出求解最大单源单汇流的具体算法步骤：
1. 从源点 (s) 进行向上部分实例化。
2. 从汇点 (t) 进行向上部分实例化。
3. 构建边重加权图 (G’)。
4. 在部分实例化并重新加权的图 (G’) 上运行最大 (s - t) 流算法。

通过上述算法，计算参数化图模板中的最大单源单汇流的时间复杂度为 (O(mnh))。

为了更清晰地展示这个过程，我们可以用以下 mermaid 流程图表示：

graph LR
    A[开始] --> B[从 s 进行向上部分实例化]
    B --> C[从 t 进行向上部分实例化]
    C --> D[构建边重加权图 G']
    D --> E[在 G' 上运行最大 s - t 流算法]
    E