15、函数型与正则化经验正交函数分析

函数型与正则化经验正交函数分析

1. 引言

气象和气候数据通常是离散的，是对连续系统采样的结果。在计算经验正交函数（EOFs）时，需要考虑这一特性。下面将详细介绍函数型EOF和正则化EOF的相关内容。

2. 函数型EOF

函数型EOF/主成分（PC）分析主要应用于由曲线或曲面组成的数据。在大气科学中，观测数据往往是时空场，是对连续变量（如压力或温度）在有限网格点上的离散采样。在很多情况下，耦合模式方法可应用于单场数据，只需假设两个场相同即可。

假设给定一组由 $n$ 条曲线构成的样本，这些曲线是向量曲线 $x(t) = (x_1(t), \ldots, x_n(t))^T$ 的坐标，且均值为零，即 $\sum_{k=1}^{n} x_k(t) = 0$ 对所有 $t$ 成立。其协方差函数为：
[S(s, t) = \frac{1}{n - 1}x^T(t)x(s)]

问题是找到光滑函数（EOF） $a(t)$，使得 $\langle a, Sa \rangle = \iint S(s, t)a(s)a(t)dsdt$ 最大化，同时满足归一化约束条件 $\langle a, a \rangle + \alpha \langle D^2a, D^2a \rangle - 1 = 0$。该问题的解由以下积分 - 微分方程给出：
[\int S (t, s) a(s)ds = \mu (1 + \alpha D^4) a(t)]

当 $\alpha = 0$ 时，得到第二类齐次Fredholm方程。假设曲线可以用一组基函数 $\varphi_1(), \ldots, \varphi_p()$ 展开，即 $