28、海洋学中的功能主成分与正则化经验正交函数分析

海洋学中的功能主成分与正则化经验正交函数分析

1. 功能主成分与离散采样

在实际研究中，连续曲线或剖面通常难以直接观测到，不过可以从规则网格上的一组离散值中获取。为了从这些样本构建连续曲线或剖面，可以使用多个基函数的线性组合。常用的基函数包括径向基函数和样条函数。

将剖面 (x_i(t)) 投影到基 (\varphi_k(t))（(k = 1, \cdots, K)）上，表达式为：
[x_i(t) = \sum_{k = 1}^{K} \lambda_{i,k} \varphi_k(t)]

功能主成分通过求解特征值问题得到，通常分两步进行：
1. 使用最小二乘法等方法从上述投影公式中获取系数 (\lambda_{i,k})（(i = 1, \cdots, n)，(k = 1, \cdots, K)）。
2. 将矩阵 (\Lambda = (\lambda_{i,k})) 作为数据矩阵，应用奇异值分解（SVD）过程来得到 (\Lambda) 协方差矩阵的特征向量（即功能主成分）。

2. 海洋学中的功能主成分示例

海洋温度和盐度的垂直剖面测量是功能主成分分析的一个合适应用领域。温度和盐度是海洋研究中非常重要的两个热力学变量，它们控制着海洋的稳定性和热盐环流，还可以用于识别海洋中的锋面区域。

通过在海洋表面给定网格点处获取离散深度的温度 (T) 和盐度 (S) 的垂直剖面，利用前面提到的投影公式得到连续剖面。温度 (T) 和盐度 (S) 的 (n \times K) 系数矩阵 (\Lambda_T) 和 (\Lambda_S) 用于计算功能主成分，通过求解特征值问题：
[\Lambd