平稳过程的线性模型是随机信号建模与谱估计的核心内容，广泛应用于语音处理、通信、生物医学信号分析等领域

平稳过程的线性模型是随机信号建模与谱估计的核心内容，广泛应用于语音处理、通信、生物医学信号分析等领域。根据对系统结构的不同假设，可分为非参数模型和参数模型两大类。

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1. 线性非参数模型

基本思想：

不显式设定系统结构，仅通过统计特性（如自相关函数）描述信号行为。

• 代表方法：周期图法、Blackman-Tukey法等经典谱估计
• 模型本质：将功率谱 $ P_x(\omega) $ 视为未知函数，用数据直接估计其形状
• 特点：
  • 不需要先验模型假设
  • 分辨率受限于数据长度和窗函数
  • 方差大，尤其在短数据下性能较差

非参数模型可看作“无限维”参数模型的极限情况。

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2. 线性参数模型

通过对系统施加有限阶数的结构约束，建立具有明确数学形式的模型。三类基本线性参数模型如下：

（1）自回归模型（AR, AutoRegressive Model）——全极点模型

$$x(n)=-\sum _{k=1}^p{a}_{k}x(n-k)+e(n)$$
其中 $ e(n) \sim \mathcal{N}(0, \sigma_e^2) $ 是白噪声激励。

• 系统函数：
  $$H(z)=\frac{{\sigma }_e}{1+{\sum }_{k=1}^p{a}_k{z}^{-k}}=\frac{{\sigma }_e}{A(z)}$$
• 只有极点（分母多项式），无零点 → “全极点模型”
• 功率谱密度：
  $$P_x(\omega )=\frac{{\sigma }_e^2}{|A(e^{j\omega }){|}^2}$$
• 优点：能很好拟合谱中具有尖峰（谐振）特性的信号（如语音）
• 应用：LPC（线性预测编码）、地震信号分析

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（2）动均模型（MA, Moving Average Model）——全零点模型

$$x(n)=\sum _{k=0}^q{b}_{k}e(n-k)$$
其中 $ e(n) $ 是白噪声。

• 系统函数：
  $$H(z)=\sum _{k=0}^q{b}_k{z}^{-k}=B(z),b_0=1$$
• 只有零点（分子多项式），无极点 → “全零点模型”
• 功率谱密度：
  $$P_x(\omega )={\sigma }_e^2|B(e^{j\omega }){|}^2$$
• 特点：谱平滑，适合表示陷波或宽带谱特征
• 缺点：参数估计困难（非线性优化）

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（3）自回归动均模型（ARMA, AutoRegressive Moving Average）——零极点模型

$$x(n)=-\sum _{k=1}^p{a}_{k}x(n-k)+\sum _{k=0}^q{b}_{k}e(n-k)$$

• 系统函数：
  $$H(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{{\sum }_{k=0}^q{b}_k{z}^{-k}}{1+{\sum }_{k=1}^p{a}_k{z}^{-k}}$$
• 同时包含零点和极点 → “零极点模型”
• 谱表达式：
  $$P_x(\omega )={\sigma }_e^2{\left|\frac{B(e^{j\omega })}{A(e^{j\omega })}\right|}^2$$
• 更灵活，可用较低阶数逼近复杂谱形
• 缺点：参数估计需非线性迭代（如最大似然、最小二乘）

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3. 模型间的关系及关键性质

（1）模型参数之间的转换关系

模型转换	是否可行	方法
AR ↔ MA	在理论上可通过逆滤波相互表示	如 $ 1/A(z) $ 表示MA无穷级数
AR → ARMA	包含关系	ARMA包含AR作为特例（当 $ B(z)=1 $）
MA → AR	仅当MA多项式最小相位时成立	需求逆 $ 1/B(z) $ 收敛
参数互推	一般不可解析转换	需联合辨识

注意：AR、MA、ARMA三者之间不能任意等价转换，除非满足特定条件（如最小相位性）

（2）模型参数与自相关序列的关系

• AR模型：满足 Yule-Walker 方程
  $$\begin{gathered} R_x(m)+\sum _{k=1}^p{a}_k{R}_x(m-k)=0,m>0 \\ \sum _{k=0}^p{a}_k{R}_x(m-k)={\sigma }_e^2\delta (m),a_0=1 \end{gathered}$$

• MA模型：自相关截尾于 $ q $
  $$R_x(m)={\sigma }_e^2\sum _{k=0}^{q-|m|}{b}_k{b}_{k+|m|},|m|\le q;R_x(m)=0,|m|>q$$

• ARMA模型：混合指数衰减型自相关，无闭式解，通常用递推或数值方法求解

（3）模型参数与谱的关系

所有模型的功率谱均由其系统函数决定：

$$P_x(\omega )={\sigma }_e^2|H(e^{j\omega }){|}^2$$

• AR谱：强调极点附近频率 → 尖锐峰值
• MA谱：强调零点避开区域 → 平坦或凹陷
• ARMA谱：综合两者特性 → 更精确拟合真实谱

（4）谱分解与最小相位特性

谱分解定理（Spectral Factorization）：

任何平稳过程的功率谱 $ P_x(\omega) $ 可分解为：
$$P_x(\omega )=|H(e^{j\omega }){|}^2\cdot {\sigma }_e^2$$
其中 $ H(z) $ 是一个因果且稳定的最小相位系统。

最小相位系统定义：

• 所有零点都在单位圆内
• 具有最小群延迟
• 其逆系统也稳定

因此，在建模时通常要求MA部分 $ B(z) $ 为最小相位，以保证可逆性和稳定性。

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4. 谐波模型（Harmonic Model）

用于描述由多个正弦波叠加加噪声构成的信号：

$$x(n)=\sum _{k=1}^d{s}_k{e}^{j{\omega }_{k}n}+v(n)$$
其中 $ s_k = A_k e^{j\phi_k} $ 为复振幅，$ v(n) \sim \mathcal{WN}(0,\sigma_v^2) $

特点：

• 非平稳？但若 $ \omega_k $ 固定、$ \phi_k $ 随机均匀分布，则为宽平稳
• 自相关函数：
  $$R_x(m)=\sum _{k=1}^d|s_k{|}^2{e}^{j{\omega }_{k}m}+{\sigma }_v^2\delta (m)$$

自相关矩阵及其特征分解：

设观测向量 $ \mathbf{x} = [x(0), x(1), \dots, x(N-1)]^T $，协方差矩阵：
$$\mathbf{R}=E[\mathbf{x}{\mathbf{x}}^H]={\mathbf{U}}_s{\mathbf{\Lambda }}_s{\mathbf{U}}_s^H+{\sigma }_v^2\mathbf{I}$$

• $ \mathbf{U}_s $：由信号导向矢量张成的信号子空间
• $ \boldsymbol{\Lambda}_s $：对应大特征值
• 剩余部分对应噪声子空间（特征值均为 $ \sigma_v^2 $）

应用：

• MUSIC、ESPRIT等超分辨率频率估计算法基于此子空间分解
• 可突破瑞利限，实现高精度频率检测

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