常见分布：0-1分布、二项分布 $ B(n,p) $、泊松分布 $ P(\lambda) $、几何分布

我们来系统地讲解以下两个核心内容：

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一、事件独立性的定义

✅ 定义：

设 $ A $ 和 $ B $ 是两个随机事件，若它们满足：

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

则称事件 $ A $ 与 $ B $ 相互独立。

⚠️ 注意：这不是条件概率！独立 ≠ 条件概率为0。

🔍 直观含义：

• 一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
• 即：$ P(A \mid B) = P(A) $，当 $ P(B) > 0 $
• 同样有：$ P(B \mid A) = P(B) $

这可以从条件概率推出：
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)$$

🌰 示例：

抛两枚均匀硬币：

• $ A $：第一枚为正面
• $ B $：第二枚为正面
  显然 $ P(A) = P(B) = 0.5 $，且 $ P(A \cap B) = 0.25 = P(A)P(B) $，故独立。

❗ 常见误区：

• 互斥 ≠ 独立！
  若 $ A \cap B = \emptyset $ 且 $ P(A)>0, P(B)>0 $，则 $ P(A \cap B)=0 \neq P(A)P(B) > 0 $ → 实际是不独立
• 独立强调“无影响”，而互斥意味着“不能共存”

✅ 多个事件的独立性（三个事件 $ A,B,C $）：

需同时满足：

1. $ P(A \cap B) = P(A)P(B) $
2. $ P(A \cap C) = P(A)P© $
3. $ P(B \cap C) = P(B)P© $
4. $ P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P© $

只满足前三条称为“两两独立”，但不一定整体独立！

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二、随机变量的概念

✅ 随机变量（Random Variable, RV）的定义：

设随机试验的样本空间为 $ \Omega $，如果对每一个样本点 $ \omega \in \Omega $，都有一个实数 $ X(\omega) $ 与之对应，则称 $ X = X(\omega) $ 为随机变量。

简单说：把试验结果数量化。

🎯 举例：

• 掷骰子：$ X = $ 出现的点数 → 取值 $ 1,2,3,4,5,6 $
• 抛三次硬币：$ X = $ 正面出现次数 → 取值 $ 0,1,2,3 $
• 测量误差：$ X = $ 实际测量值 → 连续取值

记法：通常用大写字母表示随机变量（如 $ X, Y, Z $），小写表示具体取值（如 $ x=2 $）

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三、分布函数的定义和性质

✅ 分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）定义：

对于任意随机变量 $ X $，其分布函数定义为：

$$F(x)=P(X\le x),x\in \mathbb{R}$$

即：随机变量 $ X $ 不超过 $ x $ 的概率。

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✅ 分布函数的四大性质：

1. 单调不减性：若 $ x_1 < x_2 $，则 $ F(x_1) \leq F(x_2) $
2. 右连续性：$ \lim_{x \to a^+} F(x) = F(a) $
3. 极限性质：
   • $ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 $
   • $ \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 $
4. $ 0 \leq F(x) \leq 1 $

所有随机变量（无论离散或连续）都有分布函数！

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四、离散型与连续型随机变量的定义及分布性质

类型	离散型随机变量	连续型随机变量
定义	取值为有限个或可列无限个的随机变量	取值在一个区间内连续变化，不可列
例子	掷骰子点数、电话呼叫次数、抽样中次品数	身高、体重、寿命、测量误差
概率描述方式	概率质量函数（PMF）：$ p_k = P(X = x_k) $	概率密度函数（PDF）：$ f(x) $，使得 $ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x),dx $
分布函数表达式	$ F(x) = \sum_{x_k \leq x} p_k $	$ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t),dt $
PMF/PDF 性质	$ p_k \geq 0,\ \sum p_k = 1 $	$ f(x) \geq 0,\ \int_{-\infty}^{\infty} f(x),dx = 1 $
特点	概率集中在个别点上；$ P(X=x_k) > 0 $	单点概率为零：$ P(X=a) = 0 $；只关心区间的概率

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📊 补充说明：

对于离散型：

• 常见分布：0-1分布、二项分布 $ B(n,p) $、泊松分布 $ P(\lambda) $、几何分布等
• 分布律可用表格列出：

$ x_k $	0	1	2
$ p_k $	0.2	0.5	0.3

对于连续型：

• 常见分布：均匀分布 $ U(a,b) $、正态分布 $ N(\mu,\sigma^2) $、指数分布等
• 注意：$ f(x) $ 本身不是概率，而是“密度”
• $ P(X = a) = 0 $，但 $ P(a - \varepsilon < X < a + \varepsilon) $ 可能很大

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✅ 小结对比表：

特征	离散型	连续型
取值	可列	不可列（连续区间）
描述工具	PMF $ p_k = P(X=x_k) $	PDF $ f(x) $
分布函数	阶梯函数（跳跃点在取值处）	连续函数（通常是光滑曲线）
单点概率	$ P(X=a) \geq 0 $	$ P(X=a) = 0 $
区间概率	$ P(a < X \leq b) = \sum_{a < x_k \leq b} p_k $	$ P(a < X \leq b) = \int_a^b f(x),dx $

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