22、常见离散概率分布探索

常见离散概率分布探索

1. 概率分布概述

概率分布主要分为离散概率分布和连续概率分布。离散概率分布通过概率质量函数（PMF）为输入随机变量的每个可能结果分配一个概率，所有可能结果的概率之和为 1，即 $\sum_{i = 1}^{C} f(x_i) = 1$，且 $f(x_i) > 0$，$\forall i = 1, \ldots, C$。连续概率分布则将求和符号转换为积分，以处理连续变量的无限可能值，概率密度函数（PDF）可看作是为每个连续输入指定概率输出的线图。常见的连续分布有正态（高斯）分布、指数分布和均匀分布。

2. 伯努利分布

• 定义与应用场景 ：伯努利分布是最基本的离散概率分布，用于描述单次伯努利试验中二元随机变量的行为。伯努利试验是只有两种可能结果的单次实验，通常标记为“成功”和“失败”。它常用于模拟二元结果的场景，如抛硬币、是/否调查问题、医学治疗的成功率比较以及股票价格的涨跌等。
• 参数与公式 ：伯努利分布由单个参数 $p$ 表征，$p$ 表示成功的概率。若成功编码为 1，失败编码为 0，则 $f(x = 1) = p$，$f(x = 0) = 1 - p$。其 PMF 可表示为：
• $f(x) = \begin{cases} p, & \text{if } x = 1 \ 1 - p, & \text{if } x = 0 \end{cases}$
• 更紧凑的形式为 $f(x = i) = p^i(1 - p)^{1 - i}$，其中 $i \in {0, 1}$，且 $p \in