**泊松过程**是随机过程中最重要的一类计数过程，用于描述在连续时间中“事件”以恒定平均速率独立发生的随机现象

泊松过程（Poisson Process）

泊松过程是随机过程中最重要的一类计数过程，用于描述在连续时间中“事件”以恒定平均速率独立发生的随机现象。它广泛应用于排队论、通信系统、保险精算、神经科学和金融建模等领域。

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一、基本定义

一个随机过程 $ {N(t)}_{t \geq 0} $ 称为 参数为 $ \lambda > 0 $ 的泊松过程，若满足以下条件：

1. 初始条件：$ N(0) = 0 $
2. 独立增量性：任意不相交的时间区间内，事件发生次数相互独立
3. 平稳增量性：事件在长度为 $ t $ 的区间内发生的概率只依赖于 $ t $，与起始点无关
4. 单点事件概率：
   • $ P(N(h) = 1) = \lambda h + o(h) $
   • $ P(N(h) \geq 2) = o(h) $，即极短时间内几乎不可能发生两个以上事件

其中 $ \lambda > 0 $ 是强度（或到达率），单位时间内平均发生的事件数。

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二、等价定义方式

✅ 定义1：基于泊松分布（最常见）

对任意 $ t > 0 $，有：
$$P(N(t)=k)=\frac{(\lambda t{)}^k{e}^{-\lambda t}}{k!},k=0,1,2,\dots$$
即 $ N(t) \sim \mathrm{Poisson}(\lambda t) $

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✅ 定义2：基于指数分布的到达间隔时间

设 $ T_1, T_2, \ldots $ 表示第1次、第2次……事件之间的到达间隔时间，则：

• $ T_i \overset{i.i.d.}{\sim} \mathrm{Exp}(\lambda) $，即指数分布，密度函数：
  $$f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t},t\ge 0$$
• 第 $ n $ 次事件的发生时间（到达时间）为：
  $$S_n=T_1+T_2+\cdots +T_n\sim \mathrm{Gamma}(n,\lambda )$$
  即伽马分布（厄兰分布）

📌 这说明：泊松过程是独立指数间隔时间的累加过程

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三、关键性质

性质	描述
无记忆性	指数分布具有无记忆性 ⇒ 系统“永远年轻” 例如：已等待 $ s $ 时间仍未发生事件，则未来还需等待时间仍服从 $ \mathrm{Exp}(\lambda) $
独立增量	不同时段的事件计数独立
稀有性	在极短时间 $ dt $ 内，最多发生一次事件
叠加性（Superposition）	两个独立的泊松过程（强度 $ \lambda_1, \lambda_2 $）合并后仍是泊松过程，强度为 $ \lambda_1 + \lambda_2 $
分解性（Thinning）	若每个事件以概率 $ p $ 被保留，则保留事件构成强度为 $ p\lambda $ 的泊松过程；被剔除的也构成强度为 $ (1-p)\lambda $ 的泊松过程

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四、分类：齐次 vs 非齐次

1. 齐次泊松过程（Homogeneous Poisson Process）

• 强度 $ \lambda $ 为常数
• $ E[N(t)] = \lambda t $，方差也为 $ \lambda t $
• 最基本形式

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2. 非齐次泊松过程（Non-homogeneous Poisson Process）

• 强度 $ \lambda(t) $ 是时间的函数（时变到达率）
• 累计强度函数：
  $$\Lambda (t)={\int }_0^t\lambda (s)ds$$
• 此时：
  $$P(N(t)=k)=\frac{[\Lambda (t){]}^k{e}^{-\Lambda (t)}}{k!}$$
• 到达时间不再服从指数分布，但可通过变换生成

✅ 应用于高峰时段电话呼叫、网站流量波动等场景。

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五、复合泊松过程（Compound Poisson Process）

定义：
$$X(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}{Y}_i$$
其中：

• $ N(t) $ 是泊松过程
• $ Y_i $ 是 i.i.d. 随机变量，表示每次事件带来的“跳跃大小”

📌 应用：

• 保险公司总索赔金额模型：$ Y_i $ 为第 $ i $ 次赔付额
• 股票价格跳变模型（跳跃扩散）

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六、应用实例

领域	应用方式
排队系统	顾客到达时间服从泊松过程（如 M/M/1 中的第一个 M）
电信网络	数据包到达路由器的时间建模
放射性衰变	单位时间内探测到的粒子数
神经科学	神经元发放动作电位（ spikes ）的理想化模型
金融工程	信用违约事件建模（Cox 过程）、跳跃风险定价

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七、模拟方法（Python 示例）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_poisson_process(lam, T):
    """模拟参数为 lam、时间上限为 T 的泊松过程"""
    times = []
    t = 0
    while t < T:
        # 生成下一个间隔时间
        inter_arrival = np.random.exponential(1 / lam)
        t += inter_arrival
        if t < T:
            times.append(t)
    return times

# 参数设置
lambda_rate = 2      # 平均每单位时间发生2次
max_time = 10

arrival_times = simulate_poisson_process(lambda_rate, max_time)

print("事件发生时间:", np.round(arrival_times, 3))
print("总共发生次数:", len(arrival_times))

# 可视化
plt.step(arrival_times, range(1, len(arrival_times)+1), where='post')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Number of Events')
plt.title(f'Poisson Process ($\\lambda = {lambda_rate}$)')
plt.grid(True)
plt.show()

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