损失次数模型-泊松分布
——非寿险精算的基本理论
1、定义
假设损失次数 N N N服从参数为 λ \lambda λ的泊松分布，则发生 k k k次损失的概率为：
p ( N = k ) = e − λ λ k k ! p(N=k)=\frac {e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!} p(N=k)=k!e−λλk
<有的同学可能会问，为什么泊松分布是这样的。问，就是，乌龟的屁股，“龟腚（规定）”。>
公式理解：
p k p_k pk：表示的是损失次数 N N N取值为 k k k的概率。例如，损失发生次数为3的概率，可表示为： p ( N = 3 ) = e − λ λ 3 3 ! p(N=3)=\frac {e^{-\lambda}\lambda^{3}}{3!} p(N=3)=3!e−λλ3，如果 λ \lambda λ为已知的话，便可求出最终结果。
2、方差和均值
E ( N ) = D ( N ) = λ E(N)=D(N)=\lambda E(N)=D(N)=λ
<这个比较简单一点，就给你们推导一下吧。>
<首先，唤起你们远古的概率论知识。>
离散型随机变量的均值和方差公式：
<损失次数只能是1次、2次等整数，不能是1.5次等小数，因此是离散型变量。>
E ( X ) = ∑ x k p k E(X)=\sum x_kp_k E(X)=∑xkpk
D ( X ) = E ( X − E ( X ) ) 2 D(X)=E(X-E(X))^2 D(X)=E(X−E(X))2
<记忆已唤醒，开始推导吧。>
2.1、均值 E ( N ) E(N) E(N)推导
E ( N ) = ∑ N k p ( N k ) E(N)=\sum N_kp(N_k) E(N)=∑Nkp(Nk)
<把 N k = k , p ( N = k ) = e − λ λ k k ! N_k=k,p(N=k)=\frac {e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!} Nk=k,p(N=k)=k!e−λλk带入上式>
= ∑ k = 0 n k e − λ λ k k ! =\sum_{k=0}^nk\frac {e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!} =∑k=0nkk!e−λλk
<当 λ 已 知 时 e − λ 为 常 数 ， 因 此 可 以 提 到 ∑ 前 面 \lambda已知时e^{-\lambda}为常数，因此可以提到\sum前面 λ已知时e−λ为常数，因此可以提到∑前面>
= e − λ ∑ k = 0 n k k ! λ k =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^n\frac {k}{k!}\lambda^k =e−λ∑k=0nk!kλk
<阶乘定义 k ! = k ( k − 1 ) . . . 1 = k ( k − 1 ) ! 所 以 上 式 可 写 成 k!=k(k-1)...1=k(k-1)!所以上式可写成 k!=k(k−1)...1=k(k−1)!所以上式可写成>
= e − λ ∑ k = 1 n k k ( k − 1 ) ! λ k =e^{-\lambda}\sum_{k=1}^n\frac {k}{k(k-1)!}\lambda^k =e−λ∑k=1nk(k−1)!
最低0.47元/天 解锁文章
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
