欧拉路径 LeetCode 332

欧拉路径是图中这样一条路径，包含了所有边，且只包含一次。如果起点和终点是同一个点，则是一种特殊的欧拉路径——欧拉环路。

求法1：暴力法：遍历所有的路径，如果当前路径长度为总边数，则当前路径是一条欧拉路径，如果一直没有碰到这样的路径，则无解。

一个图总共多少条路径（一般是有环的）

1）不允许路径里有环，也就是路径里的点都只出现一次的，|V|!（第一个点|V|种选择，第二个|V| - 1种。。 n * (n - 1) ...

2)  路径里每条边只能用一次，但是顶点可以出现多次。|E|!

欧拉路径是第2种路径。

区别就是判重的 inPath用的是点还是边的问题

总结一下：

1)普通的 顶点遍历 mark vertex 后不会unmark, O(|V|)

2)路径遍历， inPath mark X，退出后unmark  X, O(|X|!), 其中，对于基于点的路径 X= V，基于边的路径 X= E，

第二种遍历和全排列类似，其实搜索的已经不是原来的graph,状态定义不是vertex，而是路径，是一个新的隐式图，和全排列的隐式图一样，是一棵树。

class Solution {
public:
    vector<string> findItinerary(vector<pair<string, string>> tickets) {
        unordered_map<string, unordered_map<string, int>> G;
        for (auto &ticket : tickets) {
            G[ticket.first][ticket.second] += 1;
        }
        vector<string> path;
        vector<vector<string>> ans;
        function<void(string, int)> dfs = [&](string v, int n) {
            if (n == tickets.size()) {
                ans.push_back(path);
            }
            else {
                for (auto &e : G[v]) {
                    if (e.second > 0) {
                        e.second -= 1;
                        path.push_back(e.first);
                        dfs(e.first, n + 1);
                        e.second += 1;
                        path.pop_back();
                    }
                }
            }
        };
        path.push_back("JFK");
        dfs("JFK", 0);
        sort(ans.begin(), ans.end());
        return ans[0];
    }
    
};

方法2：Hierholzer's algorithm 有点象拓扑排序的“基于边”的版本

前提是先确定确实存在欧拉路径，根据顶点的度数。

存在欧拉回路和欧拉路径的判断：
1）欧拉回路：
无向图：每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。
有向图：每个顶点的入度都等于出度，则存在欧拉回路。
2）欧拉路径：
无向图：当且仅当该图所有顶点的度数为偶数 或者 除了两个度数为奇数外其余的全是偶数。
有向图：当且仅当该图所有顶点 出度=入度 或者 一个顶点 出度=入度+1，另一个顶点 入度=出度+1，其 他顶点 出度=入度。

然后用Hierholzer算法：

class Solution {
public:
    vector<string> findItinerary(vector<pair<string, string>> tickets) {
        unordered_map<string, priority_queue<string, vector<string>, greater<string>>> G;
        for (auto &ticket : tickets) {
            G[ticket.first].push(ticket.second);
        }
        
        vector<string> path;
        function<void(string)> dfs = [&](string v) {
                auto & edges = G[v];
                while (edges.size() > 0) {
                    string to = edges.top(); edges.pop();//这里把边从邻接表里删去就是相当于mark这条边。
                    dfs(to);
                }
                path.push_back(v);
        };
        
        dfs("JFK");
        reverse(path.begin(), path.end());
        return path;
    }
    
};