路径搜索与图论算法-优快云博客

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之前碰到的很多问题都可以归结为路径搜索问题，就是求两点之间的路经

1）是否存在路径

2）求任意一条路径

3) 是否存在环

4）求所有路径

求是否有路径和任意一条路径以及判断是否存在环的时候，和正常遍历一样，一个点被mark之后不再访问，因为如果这个结点到终点有路径，之前就应该结束了，没结束说明没路径，再访问也无益。是 O(n)的，对于求所有路径，usedInPath 在进入结点时候mark，退出结点时候unmark，每个结点可能被多次访问，总体是O(n!)的。可以有一些剪枝，比如当一个结点退出时候如果是可以到达终点的，就可以把这个点的marked重置为false，意思是这个点到终点有路径，可以供其他结点扩展再次进入。如果一个结点返回没有到达过终点，其marked项保持true, 以后再也不用进入。

def allPaths(G, start, end):
    marked, path, ans  = [False] * len(G), [], []
    def dfs(v):
        marked[v] = True
        path.append(v)
        num = len(ans)
        if v == end: ans.append(path[:])
        else:
            for w in G[v]:
                if not marked[w]: dfs(w)
        path.pop()
        if len(ans) > num:  marked[v] = False # if current node is connected to end, reopen it
    dfs(start)
    return ans

补充，这里的marked和经典dfs里用来防止重复遍历的marked不同，这里是用来防止进入环从而带来无限状态的，而不是防重。路径搜索本身的状态是个 n!的DAG，路径一直在增长，不可能回到之前的路径，不需要去重，只是有环的话会无限多。上面reopen 又用marked做剪枝，是业务语义层面的判断，既不是去重，也不是去环

无向图判断是否有环

和原始的图遍历dfs算法几乎一样，只是要带上上游节点信息，a->b, b->a 不算环。

class Solution {
    char[][] grid;
    boolean[][] marked;
    public boolean containsCycle(char[][] grid) {
        this.grid = grid;
        this.marked = new boolean[grid.length][grid[0].length];
        for (int i = 0; i < grid.length; ++i) {
            for (int j = 0; j < grid[i].length; ++j) {
                if (!marked[i][j] && dfs(i, j, -1, -1)) return true;
            }
        }
        return false;
    }
    
    boolean dfs(int i, int j, int p, int q) {
        marked[i][j] = true;
        for (int[] d : new int[][] {{1, 0}, {-1, 0}, {0, 1}, {0, -1}}) {
            int x = i + d[0], y = j + d[1];
            if (x >= 0 && x < grid.length && y >= 0 && y < grid[0].length && (x != p || y != q) && grid[x][y] == grid[i][j]) {
                if (marked[x][y] || dfs(x, y, i, j)) return true;
            } 
        }
        return false;
    }
}

bfs 求路径问题

1）维护前驱列表，最后还原

2）结点保存路径，存储要求比较高。

3）最短路径必须用bfs，如果是求所有最短路径，扩展到一个结点时候不是立即mark, 而是这一层之后统一mark，因为允许同层的其他结点也指向这个结点。

DAG上的路径搜索(有点类似二叉树上的问题 f(root) = g(f(left), f(right))，当前节点的解依赖于左右孩子上的解。

DAG上还有一种常见搜索，求DAG中最长的路径，例题是POJ最长雪道，以及leetcode 数字三角最长到底边路径。即没有起点和/或终点的路径搜索

一般用记忆化搜索，递推关系：d[v] = max{ d[w] } + 1 where (v, w)属于边集E。注意是DAG，DAG就是一个结点沿着有向边走下去不会回到自己。雪道问题就是，沿着坡度降低的方向走，高度一直下降，不可能回到路径上任何一点，典型的DAG。

背包问题用路径搜索建模：（隐式图建模）

都是DAG，不可逆，一直在减少，不可能回到之前的状态。

1）用最少（最多）硬币凑给定面值V问题

顶点：需要凑的面值。

边：可以进行的状态转移，（可以进行的操作，aka, 选择一个面值的硬币）