信号处理基础——傅里叶变换与短时傅里叶变换

目录

信号处理基础——傅里叶变换与短时傅里叶变换

1.FT与STFT概述

2.短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform,STFT）

3.spectrogram函数

4.注意事项

5.实例分析

6.Chirp信号及其生成

7.时频分析实战代码

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信号处理基础——傅里叶变换与短时傅里叶变换

1.FT与STFT概述

对于大多数信号而言， 傅立叶分析绝对是非常有用的，因为频率分析在大多数情况下都非常重要。 那么为什么我们还需要研究短时傅里叶变换呢（STFT）？

原因是因为傅立叶分析有一个非常严重的缺点， 在将信号从时间域变换到频率域去的时候，把时间信息丢失了。 当我们在用傅立叶变化去分析一个具体信号的时候， 我们不知道哪个频率是对应在哪个时间点出现的，在哪个时间点消失的。

如果一个信号的频率并不随着时间变化， 那么我们称它为平稳信号。 那么知道哪一个频率的信号在哪一个时间点出现的就不那么重要了。 可是如果现实生活中我们研究的大多数信号都是非平稳信号，他们都许多非常短暂变化的特性， 这些特点对于我们信号分析的特点， 傅立叶分析并不适合去做这种分析，而短时傅里叶变换则可以。

如上图所示，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。

可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。

然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。

2.短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform,STFT）

一个简单可行的方法就是——加窗。 “把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。

3.spectrogram函数

      [S,F,T,P]=spectrogram(x,window,noverlap,nfft,fs) %有返回值
      spectrogram(x,window,noverlap,nfft,fs,'yaxis')     %无返回值调用，直接输出频谱图

matlab中的spectrogram函数来做短时傅里叶变换，下面是其参数的解释。

语法：

[S,F,T,P]=spectrogram(x,window,noverlap,nfft,fs)

[S,F,T,P]=spectrogram(x,window,noverlap,F,fs)

说明：当使用时无输出参数，会自动绘制频谱图；有输出参数，则会返回输入信号的短时傅里叶变换。当然也可以从函数的返回值S,F,T,P绘制频谱图，具体参见例子。

参数：

x---输入信号的向量。默认情况下，即没有后续输入参数，x将被分成8段分别做变换处理，

如果x不能被平分成8段，则会做截断处理。默认情况下，其他参数的默认值为

window---窗函数，默认为nfft长度的海明窗Hamming

noverlap---每一段的重叠样本数，默认值是在各段之间产生50%的重叠

nfft---做FFT变换的长度，默认为256和大于每段长度的最小2次幂之间的最大值。

fs---采样频率，默认值归一化频率 .

Window---窗函数，如果window为一个整数，x将被分成window段，每段使用Hamming窗函数加窗。

如果window是一个向量，x将被分成length(window)段，每一段使用window向量指定的

窗函数加窗。所以如果想获取specgram函数的功能，只需指定一个256长度的Hann窗.

4.注意事项

nfft越大，频域的分辨率就越高（分辨率=fs/nfft），但离瞬时频率就越远；

noverlap影响时间轴的分辨率，越接近nfft，分辨率越高，相应的冗余就越多，计算量越大，但计算机只要能承受，问题不大。