18、线性控制系统中的生成元与半群理论

线性控制系统中的生成元与半群理论

在控制理论中，生成元与半群的研究至关重要，它们为解决线性控制系统的稳定性等问题提供了强大的理论工具。本文将深入探讨相关定理和具体例子，帮助读者理解这些概念在实际中的应用。

1. 基本命题与扩展

命题 14.2 给出了半群生成元的重要性质。如果半群 (S(t))（(t \geq 0)）的生成元 (A) 满足条件 (14.19)，或者半群 (S(t)) 满足 (14.20) 且 (\text{Re} \lambda > \omega)，那么 (\lambda \in \rho(A))，并且有：
[
(\lambda - A)^{-1}x = R(\lambda)x = \int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda t}S(t)x dt, \quad x \in E
]
当处理作用在实巴拿赫空间 (E) 上的算子和半群时，可以将它们扩展到复化空间 (E_c)。(E_c) 由元素 (a + ib)（(a, b \in E)）组成，配备范数 (|a + ib|_c = |a| + |b|) 和乘法 ((\alpha + i\beta)(a + ib) = (\alpha a - \beta b) + i(\beta a + \alpha b))。扩展后的半群 (S_c(t)) 和算子 (A_c) 分别由公式 (S_c(t)(a + ib) = S(t)a + iS(t)b) 和 (A_c(a + ib) = Aa + iAb) 给出。

2. Phillips 定理

Phillips 定理指出，如果算子 (A) 在巴拿赫空间 (E) 上生成一个半群，且 (K: E \to