20、线性控制系统与可控性分析

线性控制系统与可控性分析

1. 线性控制系统基础

1.1 线性控制系统中的延迟系统

在研究线性控制系统时，延迟系统是一个重要的部分。对于延迟系统，有如下方程：
[
\frac{d}{ds}Ky(s) = \int_{-h}^{0} A(dr) y(r + s), \quad s \in [h, 2h]
]
并且满足
[
\sup_{h\leq s\leq 2h} \left|\frac{d}{ds}Ky(s)\right| \leq C_2 \int_{-h}^{0} |A|(dr)
]
由于满足一定条件的函数集合 (K) 在 (C([h, 2h], R^n)) 中有界，根据 Ascoli 定理，集合 (K) 在 (C([h, 2h], R^n)) 中相对紧致，进而在 (L^2([h, 2h], R^n)) 中也相对紧致。

1.2 延迟系统的状态空间表示

考虑带有延迟的控制系统：
[
\begin{cases}
\dot{y}(t) = \int_{-h}^{0} A(dr) y(t + r) + \sum_{k = 1}^{m} b_k u_k(t) \
y(0) = x \in R^n \
y(\theta) = \phi(\theta), \quad -h \leq \theta \leq 0
\end{cases}
]
可以将其视为在空间 (H) 中的线性控制系统。设 ((S_t)) 是具有生成元 (A) 的算子半群，(b_k) 定义为 (b_k = \begin{bmatrix} b_