17、最优策略与线性控制系统的理论探索

最优策略与线性控制系统的理论探索

1. 最优策略的存在性

1.1 线性系统时间最优问题的最优解

当系统为线性，且集合 U 是紧致且凸的时，能满足特定定理的假设条件。这表明线性系统的时间最优问题存在最优解。

1.2 定理 13.3

假设函数 f 和集合 U 满足一定假设，且 G 是在 Rⁿ 上的连续函数。那么对于任意的 T > 0，存在使泛函 (J_T(x, u) = G(y(T))) 最小化的策略。证明过程是先证明存在 (C > 0)，使得任意输出轨迹 (y(·)) 满足 (|y(T)| ≤ C)，然后应用相关定理。

1.3 一般泛函情况

对于更一般的泛函 (J(x, u) = \int_{0}^{T} g(y(s), u(s)) ds + G(y(T)))，定理 13.3 并不成立。这是因为引入额外变量的方法在此不适用，新系统形成的集合一般不是凸子集。关于此类泛函最优控制存在性的定理，需要比证明定理 13.1 更复杂的方法。

2. 无限维线性系统中的线性控制系统

2.1 引言

之前讨论的控制系统由常微分方程描述，状态空间为 Rⁿ。但很多系统无法用有限参数表示，例如加热棒的状态与温度分布相关，其状态属于无限维函数空间，会涉及到抛物方程和边界条件。无限维系统的控制理论比有限维更复杂，完整理论仅存在于线性系统，这里采用半群方法讨论线性理论的基本问题。

2.2 算子半群

2.2.1 有限维空间中的线性微分方程解

假设 E 和 U 是有限维线性空间，A 和 B 是线性算子